এর মান কত?|(1,bc,bc (b+c)),(1,ca,ca(c+a)),(1,ab,ab(a+b))|
Explanation: 
Another Explanation (5):
দেওয়া আছে, নির্ণায়কের মান নির্ণয় করতে হবে:
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c) \\
1 & ca & ca(c+a) \\
1 & ab & ab(a+b)
\end{vmatrix}
\]
প্রথমে তৃতীয় কলাম থেকে দ্বিতীয় কলাম বিয়োগ করে, তাকে \(b+c, c+a, a+b\) দিয়ে গুণ করা যায়।
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c) \\
1 & ca & ca(c+a) \\
1 & ab & ab(a+b)
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & bc & b^2c + bc^2 \\
1 & ca & c^2a + ca^2 \\
1 & ab & a^2b + ab^2
\end{vmatrix}
\]
এখন, \(C_3 \rightarrow C_3 + abc - (a*C_1+b*C_1+c*C_1)\) প্রয়োগ করি। 🤔
\[
=
\begin{vmatrix}
1 & bc & b^2c + bc^2 \\
1 & ca & c^2a + ca^2 \\
1 & ab & a^2b + ab^2
\end{vmatrix}
\]
\(C_3\) কলাম থেকে \(bc, ca, ab\) কমন নিলে,
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c) \\
1 & ca & ca(c+a) \\
1 & ab & ab(a+b)
\end{vmatrix}
\]
এখন প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি এবং দ্বিতীয় সারি থেকে তৃতীয় সারি বিয়োগ করি:
\(R_2 \rightarrow R_2 - R_1\) এবং \(R_3 \rightarrow R_3 - R_2\)
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & b^2c + bc^2 \\
0 & ca-bc & c^2a + ca^2 - b^2c - bc^2 \\
0 & ab-ca & a^2b + ab^2 - c^2a - ca^2
\end{vmatrix}
\]
\[
=
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c) \\
0 & c(a-b) & ca(c+a) - bc(b+c) \\
0 & a(b-c) & ab(a+b) - ca(c+a)
\end{vmatrix}
\]
এখন নির্ণায়কটির মান বের করি:
\[
1 \cdot [c(a-b)\{ab(a+b) - ca(c+a)\} - a(b-c)\{ca(c+a) - bc(b+c)\}]
\]
\[
= c(a-b)\{a^2b + ab^2 - c^2a - ca^2\} - a(b-c)\{c^2a + ca^2 - b^2c - bc^2\}
\]
\[
= c(a-b)\{a^2(b-c) + a(b^2-c^2)\} - a(b-c)\{ca(c-b) + c(a^2-b^2)\}
\]
\[
= c(a-b)\{a^2(b-c) + a(b+c)(b-c)\} - a(b-c)\{ca(c-b) + c(a+b)(a-b)\}
\]
যদি নির্ণায়কের দুটি সারি বা কলাম একই হয়, তাহলে নির্ণায়কের মান শূন্য হয়। 🤔 এখানে C1 কে a,b,c দিয়ে গুণ করে যদি C3 থেকে বিয়োগ করি, তাহলে C3 কলামটি 0 হয়ে যাবে।
\[C_3 \rightarrow C_3 - aC_1 -bC_2\]
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c) \\
1 & ca & ca(c+a) \\
1 & ab & ab(a+b)
\end{vmatrix}
\]
এখন, \(C_3 \rightarrow C_3 - (a+b+c)C_2\) করি :
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c) - (a+b+c)bc \\
1 & ca & ca(c+a) - (a+b+c)ca \\
1 & ab & ab(a+b) - (a+b+c)ab
\end{vmatrix}
\]
\[
\begin{vmatrix}
1 & bc & bc(b+c - a -b -c) \\
1 & ca & ca(c+a - a -b -c) \\
1 & ab & ab(a+b - a -b -c)
\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}
1 & bc & -abc \\
1 & ca & -abc \\
1 & ab & -abc
\end{vmatrix}
\]
এখন তৃতীয় কলাম থেকে \(-abc\) কমন নিলে,
\[
-abc \begin{vmatrix}
1 & bc & 1 \\
1 & ca & 1 \\
1 & ab & 1
\end{vmatrix} = 0
\]
যেহেতু দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম একই। 🥳
অতএব, নির্ণায়কের মান 0।
