Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দিতে হবে যে, \((a + 2x)^6\) এর বিস্তৃতিতে \(x^3\) এবং \(x^4\) এর সহগদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ,
\[
\text{coefficient of } x^3 = \text{coefficient of } x^4
\]
প্রথমে, বিস্তৃতির সাধারণ সহগ নির্ণয় করি। \((a + 2x)^6\) এর বিস্তার হলো:
\[
(a + 2x)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} a^{6-k} (2x)^k
\]
অর্থাৎ, প্রতিটি টার্মের সহগ হলো:
\[
\binom{6}{k} a^{6-k} 2^k x^k
\]
??খন, \(x^3\) এর জন্য \(k=3\):
\[
\text{coefficient of } x^3 = \binom{6}{3} a^{3} 2^3
\]
এবং, \(x^4\) এর জন্য \(k=4\):
\[
\text{coefficient of } x^4 = \binom{6}{4} a^{2} 2^4
\]
নির্ণয় করি এগুলোর মান:
\[
\binom{6}{3} = 20, \quad 2^3 = 8
\]
\[
\text{coefficient of } x^3 = 20 \times a^{3} \times 8 = 160 a^{3}
\]
এবং,
\[
\binom{6}{4} = 15, \quad 2^4 = 16
\]
\[
\text{coefficient of } x^4 = 15 \times a^{2} \times 16 = 240 a^{2}
\]
প্রশ্ন অনুযায়ী, এই দুইটি সহগ সমান:
\[
160 a^{3} = 240 a^{2}
\]
উভর অংশে \(a^{2}\) ভাগ করি (এখানে \(a \neq 0\)):
\[
160 a = 240
\]
\[
a = \frac{240}{160} = \frac{3}{2}
\]
অতএব, উত্তর হলো:
\[
\boxed{\frac{3}{2}}
\]
