x²+y²-5x=0 ও x²+y²+3x=0 বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

Explanation:

Another Explanation (3):

x² + y² - 5x = 0 ও x² + y² + 3x = 0 বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

1. 1 (Incorrect)
2. 2 (Incorrect)
3. 3 (Incorrect)
4. 4 (Correct)

ব্যাখ্যা:

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0। এই সমীকরণের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (-g, -f) এবং ব্যাসার্ধ √(g² + f² - c)।

প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:

x² + y² - 5x = 0

এই সমীকরণটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে পাই:

2g = -5 ⇒ g = -5/2

2f = 0 ⇒ f = 0

c = 0

সুতরাং, প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র C₁ = (-g, -f) = (-(-5/2), -0) = (5/2, 0)।

দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:

x² + y² + 3x = 0

এই সমীকরণটিকে সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করলে পাই:

2g = 3 ⇒ g = 3/2

2f = 0 ⇒ f = 0

c = 0

সুতরাং, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র C₂ = (-g, -f) = (-3/2, -0) = (-3/2, 0)।

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব:

দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)।

এখানে, C₁ = (5/2, 0) এবং C₂ = (-3/2, 0)।

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √((-3/2 - 5/2)² + (0 - 0)²)

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √((-8/2)² + 0²)

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √((-4)²)

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √16

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 4

সুতরাং, বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 4 একক।

বিকল্প পদ্ধতি

যেহেতু উভয় বৃত্তের y-স্থানাঙ্ক 0, কেন্দ্রদ্বয় x-অক্ষের উপর অবস্থিত। সুতরাং, মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের x-স্থানাঙ্কের পরম মানের পার্থক্য।

C₁ এর x-স্থানাঙ্ক = 5/2

C₂ এর x-স্থানাঙ্ক = -3/2

মধ্যবর্তী দূরত্ব = |5/2 - (-3/2)| = |5/2 + 3/2| = |8/2| = |4| = 4

সিদ্ধান্ত

x² + y² - 5x = 0 ও x² + y² + 3x = 0 বৃত্তদ্বয়ের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 4 একক।

সঠিক উত্তর: D. 4

Another Explanation (5): বৃত্ত দুটির সমীকরণ: \(x^2 + y^2 - 5x = 0\) ...........(1) \(x^2 + y^2 + 3x = 0\) ...........(2) বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সা??ে তুলনা করে পাই, (1) নং বৃত্তের জন্য, \(2g = -5\), \(2f = 0\), \(c = 0\) সুতরাং, \(g = -\frac{5}{2}\), \(f = 0\), \(c = 0\) কেন্দ্র, \(C_1 = (-g, -f) = (\frac{5}{2}, 0)\) 📍 (2) নং বৃত্তের জন্য, \(2g = 3\), \(2f = 0\), \(c = 0\) সুতরাং, \(g = \frac{3}{2}\), \(f = 0\), \(c = 0\) কেন্দ্র, \(C_2 = (-g, -f) = (-\frac{3}{2}, 0)\) 🎯 কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) \(d = \sqrt{(-\frac{3}{2} - \frac{5}{2})^2 + (0 - 0)^2}\) \(d = \sqrt{(-\frac{8}{2})^2 + 0}\) \(d = \sqrt{(-4)^2}\) \(d = \sqrt{16}\) \(d = 4\) ইউনিট 🥳 অতএব, কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 4 একক।