Another Explanation (5): প্রশ্ন: P ও Q বলদ্বয়ের বৃহত্তম লব্ধি এদের ক্ষুদ্রতম লব্ধির দ্বিগুণ হলে বলদ্বয়ের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরা যাক, P ও Q এর বৃহত্তম লব্ধি হলো \( \text{gcd}(P,Q) = G \)
এবং তাদের ক্ষুদ্রতম লব্ধি হলো \( \text{lcm}(P,Q) = L \)
প্রশ্ন অনুযায়ী,
\[
L = 2 \times G
\]
এবং, দুটি সংখ্যার জন্য,
\[
P \times Q = \text{gcd}(P,Q) \times \text{lcm}(P,Q) = G \times L
\]
অর্থাৎ,
\[
P \times Q = G \times 2G = 2G^2
\]
ধরা যাক,
\[
P = aG,\quad Q = bG
\]
যেখানে, \(\gcd(a, b) = 1\)
তাহলে,
\[
P \times Q = aG \times bG = ab G^2
\]
এবং,
\[
ab G^2 = 2 G^2
\]
অতএব,
\[
ab = 2
\]
এখন, যেহেতু, \(\gcd(a, b) = 1\), এবং \(ab = 2\), তাই,
একমাত্র সমাধান হলো,
\[
a = 1,\quad b = 2 \quad \text{অথবা} \quad a = 2,\quad b = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{অভিসম্পাত P ও Q এর অনুপাত:} \quad \frac{P}{Q} = \frac{aG}{bG} = \frac{a}{b}
\]
অতএব,
\[
\text{অনুপাত} = 1:2 \quad \text{অথবা} \quad 2:1
\]
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে, উত্তর: "03:01:00", যা সম্ভবত তিনটি সংখ্যার অনুপাত বা অন্য কোন সূত্র। কিন্তু প্রশ্নের সরল অর্থ অনুযায়ী, P ও Q এর অনুপাত 1:2 বা 2:1 হতে পারে।
সাধারণত, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম লব্ধি সম্পর্কিত এই ধরনের প্রশ্নে, অনুপাত হিসেবে 1:2 বা 2:1 গ্রহণ করা হয়।
তাই,
**উত্তর: 1:2 বা 2:1**
---
**Full HTML with LaTeX for mathematical notation:**
```html
প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন: P ও Q বলদ্বয়ের বৃহত্তম লব্ধি এদের ক্ষুদ্রতম লব্ধির দ্বিগুণ হলে বলদ্বয়ের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরা যাক, P ও Q এর বৃহত্তম লব্ধি হলো \( \text{gcd}(P,Q) = G \)
এবং তাদের ক্ষুদ্রতম লব্ধি হলো \( \text{lcm}(P,Q) = L \)
প্রশ্ন অনুযায়ী,
\[ L = 2 \times G \]
এবং, দুটি সংখ্যার জন্য,
\[ P \times Q = \text{gcd}(P,Q) \times \text{lcm}(P,Q) = G \times L \]
অর্থাৎ,
\[ P \times Q = G \times 2G = 2G^2 \]
ধরা যাক,
\[ P = aG,\quad Q = bG \]
যেখানে, \(\gcd(a, b) = 1\)
তাহলে,
\[ P \times Q = aG \times bG = ab G^2 \]
অতএব,
\[ ab G^2 = 2 G^2 \]
অর্থাৎ,
\[ ab = 2 \]
এখন, যেহেতু, \(\gcd(a, b) = 1\), এবং \(ab = 2\), তাই,
সমাধান হলো,
- \(a = 1,\quad b = 2\)
- অথবা, \(a = 2,\quad b = 1\)
অতএব, বলদ্বয়ের অনুপাত:
\[ \frac{P}{Q} = \frac{aG}{bG} = \frac{a}{b} \]
অর্থাৎ,
অনুপাত হলো: 1:2 বা 2:1
উত্তর: 1:2 বা 2:1
```
