Another Explanation (5): প্রশ্ন: সমমানের দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\), O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি \(\vec{R}\) এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান। \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
সমাধান:
ধরা যাক, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের ভেক্টর। অর্থাৎ,
\(\vec{A} = k \vec{B}\) বা \(\vec{B} = m \vec{A}\), যেখানে \(k, m\) ধনাত্মক রাশি।
এছাড়া, \(\vec{R}\) এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের সমান।
অর্থাৎ,
\(\vec{R} = \vec{A}\) বা \(\vec{R} = \vec{B}\)
এখন, \(\vec{R}\) এর মান \(\vec{A}\) বা \(\vec{B}\) হলে,
\(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য,
\(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যে কোসাইন সূত্র ব্যবহার করি:
\[
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta
\]
তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের, অর্থাৎ,
\(\vec{A} = \lambda \vec{B}\) বা \(\vec{B} = \mu \vec{A}\),
এবং \(\vec{R}\) এর মান \(\vec{A}\) বা \(\vec{B}\) হলে, তাদের মধ্যে কোণটি নির্ণয় করতে হবে।
ধরা যাক,
\(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের ভেক্টর।
তাহলে, \(\vec{A} = \lambda \vec{B}\), এবং \(|\vec{A}| = |\lambda| |\vec{B}|\)
তাহলে, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|}
\]
এবং,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\)
যেহেতু \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের, তখন তাদের মধ্যে কোণ \(\theta\) এমন হবে যে,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\)
এছাড়া, \(\vec{R}\) এর মান \(\vec{A}\) বা \(\vec{B}\) হলে, এর মানে হলো তারা সমমানের বা অর্ধেক কোণযুক্ত।
উপরিউক্ত তথ্য থেকে,
\(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর মান হবে \(120^\circ\)।
**উত্তর: 120°**
**HTML with LaTeX:**
```html
সমাধান:
ধরা যাক, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের ভেক্টর। অর্থাৎ,
\(\vec{A} = k \vec{B}\) বা \(\vec{B} = m \vec{A}\), যেখানে \(k, m\) ধনাত্মক রাশি।
এছাড়া, \(\vec{R}\) এর মান যেকোনো একটি ভেক্টরের সমান।
অর্থাৎ,
\(\vec{R} = \vec{A}\) বা \(\vec{R} = \vec{B}\)
এখন, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) এর জন্য,
কোসাইন সূত্র ব্যবহার করি:
\(\)
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta
\(\)
এবং, যেহেতু \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমমানের, তখন তাদের মধ্যে কোণ \(\theta\) এমন হবে যে,
\(\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta\)
অতএব, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হবে 120°।
```
