a এর মান কত হলে \( \vec{A} = a\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \) ভেক্টরটি x অক্ষের সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে?

Explanation: Hints: \( \vec{V} = V_x \hat{i} + V_y \hat{j} + V_z \hat{k} \) ভেক্টরটি \( x \) অক্ষের সঙ্গে \(\theta_x\) কোণ উৎপন্ন করলে \( \cos\theta_x = \frac{V_x}{\sqrt{V_x^2 + V_y^2 + V_z^2}} \) Solve: \( \vec{A} = a\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \) \( \cos 30^\circ = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 4^2 + 3^2}} \) \(\implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 25}} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{a^2}{a^2 + 25}\) \(\implies 3a^2 + 75 = 4a^2 \implies 4a^2 - 3a^2 = 75\) \(\implies a^2 = 75 \implies a = \sqrt{5\sqrt{3}} \) Ans. (E)

Another Explanation (5): ```html

🤔 প্রশ্নানুসারে, \( \vec{A} = a\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k} \) ভেক্টরটি x অক্ষের সাথে \( 30^\circ \) কোণ উৎপন্ন করে।

আমরা জানি, কোনো ভেক্টর \( \vec{A} \) যদি x অক্ষের সাথে \( \theta \) কোণ উৎপন্ন করে, তবে:

\( \cos\theta = \frac{A_x}{|\vec{A}|} \), যেখানে \( A_x \) হলো \( \vec{A} \) ভেক্টরের x অক্ষ বরাবর উপাংশ এবং \( |\vec{A}| \) হলো ভেক্টরের মান।

এখানে, \( \theta = 30^\circ \), \( A_x = a \)

সুতরাং, \( \cos 30^\circ = \frac{a}{|\vec{A}|} \)

আমরা জানি, \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

এবং, \( |\vec{A}| = \sqrt{a^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{a^2 + 16 + 9} = \sqrt{a^2 + 25} \)

তাহলে, \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + 25}} \)

এখন, উভয় পক্ষকে বর্গ করে পাই:

\( \frac{3}{4} = \frac{a^2}{a^2 + 25} \)

cross- গুণ করে পাই:

\( 3(a^2 + 25) = 4a^2 \)

\( 3a^2 + 75 = 4a^2 \)

\( a^2 = 75 \)

\( a = \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \)

অতএব, a এর মান \( 5\sqrt{3} \)। 🎉

```