Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( a \) এর কোন মানের জন্য \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) এবং \( x^2 \) এর স??গদ্বয় পরস্পর সমান হবে?
সমাধান:
ধরা যাক, \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতি টি \( (1 + a + x)^8 \) এর মতো, যেখানে \( x \) এর জন্য সাধারণত টার্মের সহগ নির্ণয় করা হয়। তবে, প্রশ্নে সরাসরি \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতি উল্লেখ থাকায়, বুঝতে হবে যে এটি বাইনোমিয়াল তত্ত্বের সাধারণ বিস্তৃতি:
\[
(1 + a)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} 1^{8-k} a^k
\]
এখানে, প্রতিটি টার্মের সাধারণ রূপ:
\[
\binom{8}{k} a^k
\]
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে \( x \) এবং \( x^2 \) এর সহগদ্বয়। অর্থাৎ, বিস্তৃতিতে কোন টার্মের সহগ হলো \( x \) এবং অন্যের সহগ হলো \( x^2 \)। যদি ধরে নেওয়া হয় যে এই বিস্তৃতি \( (1 + a + x)^8 \) এর, তবে সাধারণত:
\[
(1 + a + x)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (a + x)^k
\]
এবং,
\[
(a + x)^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} x^j
\]
তবে, এই ক্ষেত্রে, \( x \) এর সহগগুলো \( j \)-এর মান অনুযায়ী। আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \( x \) এবং \( x^2 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হওয়া।
সুতরাং, প্রথমে, \( x \) এর সহগ নির্ণয় করি:
\[
\text{Coefficient of } x \text{ in } (1 + a + x)^8
\]
এটি হল:
\[
\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} \binom{k}{1}
\]
কারণ, \( x \) এর জন্য টার্মে \( j=1 \):
\[
\text{Coefficient of } x = \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} \times k
\]
অন্যদিকে, \( x^2 \) এর সহগ:
\[
\text{Coefficient of } x^2 = \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} a^{k-2} \times \binom{k}{2}
\]
এখন, এই দুই সহগের সমান হওয়া শর্তে:
\[
\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} \times k = \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} a^{k-2} \times \binom{k}{2}
\]
এখন, \( a \) এর জন্য মান নির্ণয় করি।
প্রথম, সাধারণত, এই ধরনের প্রশ্নে, \( a \) এর মান নির্ণয়ে সাধারণ ধাপ হলো মূল সমীকরণ গঠন করে সমাধান করা।
তাই, প্রথমে \( x \) সহগের সমীকরণ:
\[
\text{Coefficient of } x = \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} k
\]
\[
= \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} k a^{k-1}
\]
এবং, জানি:
\[
\frac{d}{da} (1 + a)^8 = 8(1 + a)^7
\]
এবং,
\[
\sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} a^{k} = (1 + a)^8
\]
তাহলে,
\[
\sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} k a^{k-1} = \frac{d}{da} (1 + a)^8 = 8(1 + a)^7
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{Coefficient of } x = 8 (1 + a)^7
\]
একইভাবে, \( x^2 \) এর সহগ:
\[
\sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} a^{k-2} \binom{k}{2}
\]
এটি হিসাব করা ??ায়:
\[
\sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} \frac{k(k-1)}{2} a^{k-2}
\]
তাই,
\[
= \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} k(k-1) a^{k-2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\text{Coefficient of } x^2 = \frac{1}{2} \times \frac{d^2}{da^2} (1 + a)^8
\]
কারণ,
\[
\frac{d^2}{da^2} (1 + a)^8 = 8 \times 7 (1 + a)^6 = 56 (1 + a)^6
\]
অতএব,
\[
\text{Coefficient of } x^2 = \frac{1}{2} \times 56 (1 + a)^6 = 28 (1 + a)^6
\]
অতএব, শর্ত অনুযায়ী:
\[
8 (1 + a)^7 = 28 (1 + a)^6
\]
অর্থাৎ,
\[
8 (1 + a)^7 = 28 (1 + a)^6
\]
দুটি পক্ষ ভাগ করি \( (1 + a)^6 \) দ্বারা:
\[
8 (1 + a) = 28
\]
অতএব,
\[
(1 + a) = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
a = \frac{7}{2} - 1 = \frac{7}{2} - \frac{2}{2} = \frac{5}{2}
\]
তবে, এখানে মূল প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো \( \frac{2}{7} \)। এটি সম্ভবত ভুল বোঝাবুঝির জন্য বা অন্য ধরণের বিস্তৃতি বা ফর্মুলা থেকে এসেছে।
আসুন, যদি আমরা মূলত বিস্তৃতি \( (1 + a x)^8 \) ধরি, তবে:
\[
(1 + a x)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} a^k x^k
\]
তাহলে, \( x \) সহগ:
\[
\binom{8}{1} a = 8a
\]
এবং \( x^2 \) সহগ:
\[
\binom{8}{2} a^2 = 28 a^2
\]
প্রশ্নে বলেছে, এই দুটি সহগ সমান:
\[
8a = 28 a^2
\]
অর্থাৎ,
\[
28 a^2 - 8a = 0
\]
\[
a (28a - 8) = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
a = 0 \quad \text{অথবা} \quad 28a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}
\]
এখানে, মূল উত্তরের জন্য:
\[
a = \frac{2}{7}
\]
সুতরাং, সঠিক মান হলো:
উত্তর: \( \frac{2}{7} \)
