r(1+cos θ)=2 সমীকরণটি কি প্রকাশ করে? 

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ r(1 + \cos \theta) = 2 \]

অথবা,

\[ r = \frac{2}{1 + \cos \theta} \]

প্রথমে, এই সমীকরণটি পোলার সমীকরণ হিসেবে চিন্তা করি।

পোলার সমীকরণে একটি রেখার দূরত্ব (r) এর উপর নির্ভর করে কোণ \(\theta\)।

পরিবর্তে, আমরা এই সমীকরণটিকে Cartesian (x, y) সমীকরণে রূপান্তর করি।

পোলার থেকে Cartesian রূপান্তর সূত্রাবলি:

• \( x = r \cos \theta \)
• \( y = r \sin \theta \)

প্রথমে, \(\cos \theta\) কে \(x, r\) এর সাহায্যে প্রকাশ করি:

\[ r = \frac{2}{1 + \cos \theta} \Rightarrow r (1 + \cos \theta) = 2 \]

এখন, \(\cos \theta = \frac{x}{r}\), তাই সমীকরণে সেট করে নেই:

\[ r (1 + \frac{x}{r}) = 2 \]

\[ r + x = 2 \]

এখানে, \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), সুতরাং:

\[ \sqrt{x^2 + y^2} + x = 2 \]

উভয় পাশ স্কোয়ার করি:

\[ (\sqrt{x^2 + y^2} + x)^2 = 4 \]

বিঃদ্রঃ, \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), তাই:

\[ (\sqrt{x^2 + y^2})^2 + 2x \sqrt{x^2 + y^2} + x^2 = 4 \]

\[ x^2 + y^2 + 2x \sqrt{x^2 + y^2} + x^2 = 4 \]

উভয় \(x^2\) যোগ করি:

\[ 2x^2 + y^2 + 2x \sqrt{x^2 + y^2} = 4 \]

প্রথম বিশ্লেষণে, এই সমীকরণটি একটি পরিবৃত্ত বা circle-এর সমীকরণ নয়।

তবে, এই সমীকরণের মূল উদ্দেশ্য হলো, পোলার সমীকরণে একটি বিশেষ ধরনের কার্টেসিয়ান সমীকরণ রূপান্তর।

অতএব, মূল সমীকরণের ধরন অনুসারে, এটি একটি পরিবৃত্ত রূপে প্রকাশ পায়।

বিশেষ করে, পোলার সমীকরণে \(\ r = \frac{k}{1 + e \cos \theta}\) ধরনের সমীকরণ সাধারণত পরিবৃত্ত, অক্ষতল বা অভ্রান্ত রূপে প্রকাশ পায়।

এখানে, \(\ r(1 + \cos \theta) = 2 \) সমীকরণটি একটি পরিবৃত্ত এর সমীকরণের রূপে প্রকাশ পায়।