নির্ণায়কের সারি ও কলামসমূহ পরস্পর স্থান বিনিময় করলে নির্ণায়কের মান-

ধরা যাক, একটি নির্ণায়কের ম্যাট্রিক্স \(A\) এর আকার \(n \times n\)।

নির্ণায়কের মানঃ

\[ \det(A) \]

এখন, ধরি নির্ণায়কের সারি ও কলামগুলো স্থান বিনিময় করা হলো। অর্থাৎ, সারি \(i\) এবং সারি \(j\) বিনিময় করা হলো।

নতুন ম্যাট্রিক্স \(A'\) এর নির্ণায়কের মান:

\[ \det(A') \]

নির্ণায়কের সারি ও কলাম বিনিময়ের জন্য, আমরা জানি যে:

• একটি সারি বা কলাম বিনিময় করলে নির্ণায়কের মান পরিবর্তিত হয় \(-1\) দ্বারা।
• একাধিক সারি বা কলাম বিনিময় করলে, প্রতিটি বিনিময়ের জন্য এই গুণফল প্রযোজ্য।

এক্ষেত্রে, যদি শুধুমাত্র দুটি সারি বা দুটি কলাম বিনিময় করা হয়, তবে:

\[ \det(A') = -\det(A) \]

তবে, যদি সারি ও কলাম উভয়ই বিনিময় করা হয় একসাথে, তখন এর বাস্তবিক প্রভাব নির্ণায়কের মানের উপর নির্ভর করে।

যদি সারি ও কলাম উভয়ই বিনিময় করা হয় একসাথে, তবে নির্ণায়কের মান পরিবর্তিত হবে না। কারণ:

• একটি সারি বিনিময় করলে নির্ণায়কের মান পরিবর্তিত হয় \(-1\)
• একটি কলাম বিনিময় করলে নির্ণায়কের মান পরিবর্তিত হয় \(-1\)

সুতরাং, সারি ও কলাম দুটিই একসাথে বিনিময় করলে, মোট পরিবর্তনের দিক:

\[ (-1) \times (-1) = 1 \]

অর্থাৎ, নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে।

সুতরাং, উত্তরঃ

পরিবর্তন হবে না