Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ:
\[ 11x^2 + 14y^2 - 4xy + 72x - 84y + 186 = 0 \]
ধাপ 1: সমীকরণকে সাধারণ আকারে বিশ্লেষণ করা
সমীকরণটি দ্বিঘাতীয় রৈখিক সমীকরণের মতো দেখাচ্ছে। প্রথমে এটিকে রৈখিক রূপে লেখা যাক:
\[ 11x^2 - 4xy + 14y^2 + 72x - 84y + 186 = 0 \]
ধাপ 2: কোঅর্ডিনেট রূপান্তর
এখানে, দ্বিঘাতীয় অংশটি হল:
\[
11x^2 - 4xy + 14y^2
\]
এটি একটি দ্বিঘাতীয় আকার, যাকে আংশিকভাবে রৈখিক রূপে রূপান্তর করা প্রয়োজন।
ধাপ 3: ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে দ্বিঘাতীয় আকারের নির্ণয়
দ্বিঘাতীয় টার্মগুলোকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখি:
\[
Q = \begin{bmatrix}
11 & -2 \\
-2 & 14
\end{bmatrix}
\]
এবং ভেক্টর:
\[
\mathbf{b} = \begin{bmatrix}
72 \\
-84
\end{bmatrix}
\]
সমীকরণটি সাধারণত:
\[
\mathbf{x}^T Q \mathbf{x} + \mathbf{b}^T \mathbf{x} + c = 0
\]
এখানে, \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}\), এবং \(c=186\).
ধাপ 4: আকারের নির্ণয়
প্রথমে, ডিটেরমিন্যান্ট পরীক্ষা করি:
\[
\det(Q) = (11)(14) - (-2)(-2) = 154 - 4 = 150 > 0
\]
এবং, নিম্নতম স্বয়ংক্রিয় মান নির্ণয় করি।
\[
\text{Eigenvalues:} \lambda = \frac{\text{Trace}(Q) \pm \sqrt{\text{Trace}(Q)^2 - 4 \det(Q)}}{2}
\]
যেখানে,
\[
\text{Trace}(Q) = 11 + 14 = 25
\]
এবং,
\[
\sqrt{25^2 - 4 \times 150} = \sqrt{625 - 600} = \sqrt{25} = 5
\]
অতএব,
\[
\lambda_1 = \frac{25 + 5}{2} = 15, \quad \lambda_2 = \frac{25 - 5}{2} = 10
\]
উভয়ই ধনাত্মক, অর্থাৎ এই দ্বিঘাতীয় আকারটি একটি
উপবৃত্ত এর প্রতিনিধিত্ব করে।
ধাপ 5: কেন্দ্র নির্ণয় ও আকারের নিশ্চিতকরণ
উপবৃত্তের কেন্দ্র:
\[
\mathbf{x}_0 = -Q^{-1} \frac{\mathbf{b}}{2}
\]
এবং উপবৃত্তের জনিত প্রমাণের জন্য, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, দ্বিঘাতীয় আকারের নির্দেশক মান ধনাত্মক, তাই এটি একটি উপবৃত্ত।
উপসংহার:
সমীকরণের দ্বিঘাতীয় অংশের আকার ও নির্ণয় নির্দেশ করে যে, এটি একটি
উপবৃত্ত।
অতএব, উত্তর:
উপবৃত্ত
