101101 এর সাথে কোন ন্যূনতম দ্বিমিক সংখ্যা যোগ করলে যোগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হবে?

প্রশ্নের সমাধান:

দেওয়া সংখ্যাঃ \(101101_2\)

প্রথমে এই বাইনারি সংখ্যাটিকে দশমিক সংখ্যায় রূপান্তর করি:

\(101101_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0\)

= \(32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45\)

অতএব, সংখ্যাঃ \(45_{10}\)

ধরা যাক, যোগ করতে হবে একটি দ্বিমিক সংখ্যা \(x\) (যেটি আবার বাইনারি), যাতে যোগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হয়।

অর্থাৎ:

\(45 + x \equiv 0 \pmod{16}\)

এখানে, \(x\) বাইনারি সংখ্যাকে দশমিকের রূপে ভাবলে, ধরুন \(x_{2}\) এর মান।

প্রথমে, 45 এর 16 দ্বারা অবশিষ্টাংশ নির্ণয় করি:

\(45 \div 16 = 2\) রেমিন্ডার \(13\)

অর্থাৎ:

\(45 \equiv 13 \pmod{16}\)

সুতরাং, আমাদের প্রয়োজন:

\(13 + x \equiv 0 \pmod{16}\)

অর্থাৎ:

\(x \equiv -13 \equiv 3 \pmod{16}\)

অর্থাৎ, \(x \equiv 3 \pmod{16}\)।

এখন, বাইনারি সংখ্যার জন্য, আমরা দেখতে চাই ছোটতম দ্বিমিক সংখ্যা \(x\) যা এই শর্ত পূরণ করে।

অতএব, বাইনারি সংখ্যার জন্য, \(x\) এর মান হতে পারে:

• প্রথম: \(x = 0011_2 = 3_{10}\)
• অন্যসংখ্যা: \(x = 10011_2 = 19_{10}\), ইত্যাদি।

কিন্তু আমাদের প্রশ্নে বলা হলো "ন্যূনতম দ্বিমিক সংখ্যা"।

অর্থাৎ, বাইনারি সংখ্যার জন্য, সবচেয়ে ছোট মানটি \(0011_2\), যা 3।

অতএব, বাইনারি সংখ্যাটি হলো: 11

পরিশেষে, যাচাই করি:

নতুন সংখ্যাটি বাইনারি: 11

দশমিক: 3

যোগফল: \(45 + 3 = 48\)

প্রশ্নে বলেছে, যোগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখন, \(48 \div 16 = 3\), অর্থাৎ, বিভাজ্য।

সুতরাং, উত্তর হলো: 11