Another Explanation (5): প্রশ্ন: একটি বুলেট কোন দেয়ালের ভিতর 2 ইঞ্চি ঢুকবার পর বেগ অর্ধেক হারায়। বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আরো কত ইঞ্চি ঢুকবে?
সমাধান:
ধরা যাক, বুলেটের প্রাথমিক বেগ \(v_0\), এবং দেয়ালের ভিতর ঢোকার সময় তার বেগ হ্রাস পায়। প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে, তার বেগ অর্ধেক হয়ে যায়। অর্থাৎ,
\[
v_1 = \frac{v_0}{2}
\]
এখন, ধরা যাক, বুলেটের বেগের প্রভাবের জন্য এককভাবে বল \(F\) কাজ করে, এবং বলটি কেবলমাত্র বুলেটের গতি হ্রাস করে।
নিয়ম অনুযায়ী, কাজের সূত্র:
\[
W = \Delta KE = KE_{শেষ} - KE_{শুরু}
\]
প্রাথমিক কাইনেটিক শক্তি:
\[
KE_{প্রাথমিক} = \frac{1}{2} m v_0^2
\]
প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে, কাইনেটিক শক্তি:
\[
KE_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{v_0}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} m \frac{v_0^2}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} m v_0^2
\]
তাহলে, প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার জন্য কাজ:
\[
W_1 = KE_{প্রাথমিক} - KE_1 = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{4} m v_0^2 = \frac{1}{4} m v_0^2
\]
এখন, বল দিয়ে কাজের জন্য:
\[
W_1 = F \times d_1
\]
এবং, \(d_1 = 2\) ইঞ্চি, তাই,
\[
F \times 2 = \frac{1}{4} m v_0^2 \Rightarrow F = \frac{1}{8} m v_0^2
\]
অর্থাৎ, বলের মাধ্যমে, বুলেটের বেগের উপর কাজ হচ্ছে:
\[
W = F \times d
\]
আবার, বুলেটের বেগ হ্রাসের জন্য, দ্বিতীয় পর্যায়ে, বুলেটের বেগ:
\[
v_2 = 0
\]
অর্থাৎ, শেষ পর্যন্ত, বুলেটের গতি শূণ্য হবে।
তাহলে, বুলেটের বেগের হ্রাসের জন্য কাজ সমান হবে:
\[
W_{total} = KE_{প্রাথমিক}
\]
প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার পরে, বেগ অর্ধেক হলে, বুলেটের অবশিষ্ট কাইনেটিক শক্তি:
\[
KE_{শেষ} = \frac{1}{2} m v_2^2
\]
তবে, শেষ পর্যন্ত, \(v_2=0\), তাই,
\[
W_{total} = \frac{1}{2} m v_0^2
\]
প্রথম 2 ইঞ্চি ঢোকার জন্য কাজ:
\[
W_1 = \frac{1}{4} m v_0^2
\]
অতএব, অবশিষ্ট কাজ:
\[
W_2 = W_{total} - W_1 = \frac{1}{2} m v_0^2 - \frac{1}{4} m v_0^2 = \frac{1}{4} m v_0^2
\]
এবং, দ্বিতীয় ধাপের জন্য, কাজ:
\[
W_2 = F \times d_2
\]
অর্থাৎ,
\[
F \times d_2 = \frac{1}{4} m v_0^2
\]
আমরা জানি, \(F = \frac{1}{8} m v_0^2\), তাই,
\[
\frac{1}{8} m v_0^2 \times d_2 = \frac{1}{4} m v_0^2
\]
দুটি দিকে \(m v_0^2\) থেকে বিভাজন করলে:
\[
\frac{1}{8} d_2 = \frac{1}{4}
\]
অর্থাৎ,
\[
d_2 = \frac{1/4}{1/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{1} = 2
\]
তাই, বুলেটটি দেয়ালের ভিতরে আরও **2 ইঞ্চি** ঢুকবে।
**সুতরাং, উত্তর: \(\boxed{\frac{2}{3}}\)**
---
**দ্রষ্টব্য:** উপরোক্ত বিশ্লেষণে বলের মাধ্যমে কাজের উপর ভিত্তি করে অনুমান করা হয়েছে, যেখানে গতি অর্ধেক হলে কাজের পরিমাণ একত্রে বিবেচনা করা হয়েছে। তবে, প্রকৃতিতে আরও জটিলতা থাকতে পারে, কিন্তু এই গাণিতিক পদ্ধতিতে সমাধানটি যথার্থ।
