Another Explanation (5): প্রশ্ন: দুটি সমীকরণ
\[
a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0
\]
এবং
\[
a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0
\]
দুটি সমীকরণের একটি সাধারণ মূল (common root) থাকার শর্ত নির্ণয় করতে হবে।
---
**সমাধান:**
ধরা যাক, এই দুটি সমীকরণের একটি সাধারণ মূল \( \alpha \) রয়েছে। তাহলে,
\[
a_1 \alpha^2 + b_1 \alpha + c_1 = 0 \quad \text{(1)}
\]
এবং
\[
a_2 \alpha^2 + b_2 \alpha + c_2 = 0 \quad \text{(2)}
\]
উভয় সমীকরণ থেকে \( \alpha \) এর মান নির্ণয় করতে পারি।
---
**ধাপ 1: সমীকরণ (1) থেকে \( \alpha \) এর সূত্র:**
\[
a_1 \alpha^2 + b_1 \alpha + c_1 = 0
\]
**ধাপ 2: সমীকরণ (2) থেকে \( \alpha \) এর সূত্র:**
\[
a_2 \alpha^2 + b_2 \alpha + c_2 = 0
\]
---
**ধাপ 3: দুই সমীকরণের মধ্যে পার্থক্য নিন:**
নিচেরভাবে সমীকরণ (1) থেকে (2) বিয়োগ করলে,
\[
a_1 \alpha^2 + b_1 \alpha + c_1 - (a_2 \alpha^2 + b_2 \alpha + c_2) = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
(a_1 - a_2) \alpha^2 + (b_1 - b_2) \alpha + (c_1 - c_2) = 0
\]
তবে, যদি \( a_1 = a_2 \), তবে এই পদ্ধতিতে সমস্যা হবে। এজন্য, সাধারণভাবে, দুই সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার জন্য, তাদের সমাধানগুলো কমপক্ষে একটিই সাধারণ \( \alpha \) মানে সমাধান থাকতে হবে।
অতএব, দুটি সমীকরণের সাধারণ মূল থাকার জন্য, তাদের সমাধান সেটের অন্তত একটি সাধারণ মান থাকতে হবে। অর্থাৎ, সমাধানগুলো সমান হওয়া বা কমপক্ষে একটিই সমাধান শেয়ার করতে হবে।
---
**ধাপ 4: সমাধানগুলো শেয়ার করার শর্ত:**
দুটি সমীকরণের মূলের জন্য,
\[
\Delta_1 = b_1^2 - 4 a_1 c_1
\]
এবং
\[
\Delta_2 = b_2^2 - 4 a_2 c_2
\]
অতএব, যদি উভয় সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকে, তাহলে তাদের সমাধানগুলি কম??ক্ষে একটিই সমান হবে।
**সাধারণ মূলের জন্য শর্ত:**
প্রথম সমীকরণের মূল:
\[
x = \frac{-b_1 \pm \sqrt{\Delta_1}}{2 a_1}
\]
দ্বিতীয় সমীকরণের মূল:
\[
x = \frac{-b_2 \pm \sqrt{\Delta_2}}{2 a_2}
\]
একটি সাধারণ মূল থাকলে,
\[
\frac{-b_1 + \sqrt{\Delta_1}}{2 a_1} = \frac{-b_2 + \sqrt{\Delta_2}}{2 a_2}
\]
অথবা
\[
\frac{-b_1 - \sqrt{\Delta_1}}{2 a_1} = \frac{-b_2 - \sqrt{\Delta_2}}{2 a_2}
\]
---
**ধাপ 5: সাধারণ মূলের জন্য শর্ত:**
একটি সাধারণ মূল থাকার জন্য, তাদের মূলের সমাধান সমান হতে হবে। অর্থাৎ,
\[
\frac{-b_1 + \sqrt{\Delta_1}}{a_1} = \frac{-b_2 + \sqrt{\Delta_2}}{a_2}
\]
অথবা
\[
\frac{-b_1 - \sqrt{\Delta_1}}{a_1} = \frac{-b_2 - \sqrt{\Delta_2}}{a_2}
\]
---
**ধাপ 6: উভয় সমীকরণের জন্য একসাথে সমাধান করলে:**
আমরা পাই:
\[
(a_1 b_2 - a_2 b_1) \pm \left( \sqrt{\Delta_1} a_2 - \sqrt{\Delta_2} a_1 \right) = 0
\]
এবং এটি সাধারণত একটি সমীকরণে রূপান্তর করা যায়।
---
**অন্তিম ফলাফল:**
গণনামূলকভাবে, সাধারণ মূল থাকার শর্ত হল:
\[
(a_1 b_2 - a_2 b_1) \left( b_1 c_2 - b_2 c_1 \right) = \left( c_1 a_2 - a_1 c_2 \right)^2
\]
---
**উত্তর:**
\[
\boxed{
\left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \left( b_1 c_2 - b_2 c_1 \right) = \left( c_1 a_2 - a_1 c_2 \right)^2
}
\]
এটাই দুই সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকার জন্য শর্ত।
