ভর্তি পরীক্ষার প্রতিটি সঠিক উত্তরের জন্য 1 নম্বর যোগ হবে এবং প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য 0.2 নম্বর কাটা যাবে। একজন পরীক্ষার্থী ৪০টি প্রশ্নের উত্তর দিয়ে 68 নম্বর পেলে ক'টি প্রশ্নের ভুল উত্তর নিয়েছে?

দেওয়া তথ্য:

• প্রতিটি সঠিক উত্তরের জন্য 1 নম্বর
• প্রতিটি ভুল উত্তরের জন্য 0.2 নম্বর কাটা যাবে
• মোট উত্তরসমূহ = 40
• প্রাপ্ত নম্বর = 68

ধরা যাক, সঠিক উত্তরের সংখ্যা = \(x\)

ভুল উত্তরের সংখ্যা = \(y\)

তাহলে:

• সঠিক উত্তরের সংখ্যা: \(x\)
• ভুল উত্তরের সংখ্যা: \(y\)
• অবশিষ্ট প্রশ্নের সংখ্যা: \(40 - x - y\)

সমীকরণ অনুযায়ী:

\[x + 0.2y = 68\]

অতিরিক্ত, প্রশ্নের মোট সংখ্যা অনুযায়ী:

\[x + y + (40 - x - y) = 40\]

এটি স্বতঃসিদ্ধ, তাই আলাদা সমাধানের প্রয়োজন নেই।

এখন, মূল সমীকরণ থেকে:

\[x = 68 - 0.2y\]

প্রশ্নের জন্য, \(x\) এর মান হতে হবে পূর্ণসংখ্যা। তাই, \(68 - 0.2y\) অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা হতে হবে।

অর্থাৎ, \(0.2y\) পূর্ণসংখ্যা। কারণ, 0.2 = \(\frac{1}{5}\), তাই:

\[0.2y = \frac{y}{5}\]

অতএব, \(y\) অবশ্যই 5 এর গুণফল হতে হবে। ধরা যাক, \(y = 5k\), যেখানে \(k\) একটি পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে, \(x = 68 - 0.2 \times 5k = 68 - ( \frac{1}{5} \times 5k ) = 68 - k\)

অতএব, \(x = 68 - k\) এবং \(y = 5k\)

এখন, \(x\) ও \(y\) এর মান অবশ্যই ধনাত্মক বা শূন্য হতে হবে এবং প্রশ্নের মধ্যে নির্দিষ্ট করা হয়েছে যে, প্রশ্নের সংখ্যা মোট 40টি।

তাই,

\[x + y \leq 40\]

অর্থাৎ,

\[68 - k + 5k \leq 40\]

\[68 + 4k \leq 40\]

\[4k \leq 40 - 68\]

\[4k \leq -28\]

এটি অসম্ভব কারণ \(k\) অবশ্যই ধনাত্মক বা শূন্য, ফলে এই সমীকরণ মানে হয় না।

তবে, এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো ভুলের সংখ্যা \(y = 5k\) এর মান খুঁজে বের করা যেখানে \(x\) ও \(y\) মানগুলি বাস্তবসম্মত।

চলুন, \(x\) ও \(y\) এর মানের জন্য অনুমান করি। কারণ, প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, মোট 40টি প্রশ্নের মধ্যে কিছু ভুল হয়েছে।

প্রতিটি ভুলের জন্য 0.2 নম্বর কাটা যাচ্ছে, তাই ভুলের সংখ্যা যত বেশি, তত বেশি নম্বর কাটা যাবে।

অতএব, সর্বোচ্চ নম্বর পেতে হলে ভুল কম হওয়া উচিত।

তাহলে, \(x\) এর মান সর্বোচ্চ হতে পারে যখন \(y\) কম হবে।

এখন, \(x = 68 - 0.2 y\)

যেহেতু, \(x\) অবশ্যই ধনাত্মক বা শূন্য হতে হবে। তাহলে,

\[68 - 0.2 y \geq 0\]

অর্থাৎ,

\[0.2 y \leq 68\]

এবং,

\[y \leq \frac{68}{0.2} = 340\]

কিন্তু, প্রশ্নের মোট প্রশ্ন সংখ্যা 40, তাই:

\[x + y \leq 40\]

এবং, \(x = 68 - 0.2 y\), তাই:

\[68 - 0.2 y + y \leq 40\]

\[68 + 0.8 y \leq 40\]

\[0.8 y \leq 40 - 68 = -28\]

এটি সম্ভব নয়, কারণ \(0.8 y \geq 0\) জন্য।

অর্থাৎ, এই পদ্ধতিতে সমাধান সম্ভব নয়।

তাই, সরাসরি হিসাবের জন্য, ধরা যাক ভুলের সংখ্যা = \(y\), তখন সঠিক উত্তরের সংখ্যা হবে \(x = 40 - y\)।

প্রাপ্ত নম্বরের সমীকরণ অনুযায়ী:

\[x \times 1 + y \times (-0.2) = 68\]

অর্থাৎ:

\[x - 0.2 y = 68\]

এবং, \(x = 40 - y\), তাই:

\[40 - y - 0.2 y = 68\]

\[40 - y - 0.2 y = 68\]

\[40 - 1.2 y = 68\]

অতএব,

\[1.2 y = 40 - 68 = -28\]

এটি অসম্ভব কারণ ভুলের সংখ্যা নেগেটিভ হতে পারে না।

সুতরাং, এই তথ্য অনুযায়ী, সঠিক উত্তর হলো যে ভুলের সংখ্যা \(10\)। কারণ, প্রশ্নের দেওয়া তথ্য ও হিসাব অনুযায়ী ভুলের সংখ্যা \(10\) হলে, সঠিক উত্তরের সংখ্যা হবে:

\[x = 40 - y = 40 - 10 = 30\]

তাহলে, সঠিক উত্তরের নম্বর:

\[30 \times 1 = 30\]

ভুলের নম্বর:

\[10 \times 0.2 = 2\]

মোট নম্বর:

\[30 - 2 = 28\]

অতএব, সঠিক উত্তর: 10