Explanation: \(\text{Solve: স্প্রিং এর ক্ষেত্রে, } F = kx \implies k = \frac{mg}{x} \, [F = mg] \\ \implies k = \frac{1 \times 9.8}{0.1} = 98 \, \text{Nm}^{-1} \\ \text{স্প্রিং এর ক্ষেত্রে কাজ, } W = \frac{1}{2}kx^2 \implies mgh = \frac{1}{2}kx^2 \\ \implies x = \sqrt{\frac{2mgh}{k}} = \sqrt{\frac{2 \times 5 \times 9.8 \times 1}{98}} \\ \implies x = 1 \, \text{m} \\ \text{Ans. (B)}\)
Another Explanation (5): ```html
স্প্রিং-এর সংকোচন নির্ণয় 🧐
প্রদত্ত তথ্য:
ভর \(m_1 = 1\) kg ⚖️
সংকোচন \(x_1 = 10\) cm = 0.1 m 📏
ভর \(m_2 = 5\) kg 🏋️
উচ্চতা \(h = 1\) m ⬆️
স্প্রিং ধ্রুবক নির্ণয়:
আমরা জানি, \(F = kx\) 💡
এখানে, \(F = m_1g\)
সুতরাং, \(m_1g = kx_1\)
বা, \(k = \frac{m_1g}{x_1} = \frac{1 \times 9.8}{0.1} = 98\) N/m 🌱
শক্তির সংরক্ষণ নীতি ব্যবহার করে সংকোচন নির্ণয়:
ভর \(m_2\) কে \(h\) উচ্চতা থেকে ফেলে দিলে, এটি স্প্রিংটিকে সংকুচিত করবে। এক্ষেত্রে, ভরের পটেনশিয়াল শক্তি স্প্রিং-এর স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তিতে রূপান্তরিত হবে। 🎉
ধরি, স্প্রিংটি \(x\) মিটার সংকুচিত হবে। 🎯
সুতরাং, পটেনশিয়াল শক্তি \(PE = m_2g(h+x)\) এবং স্প্রিং এর স্থিতিস্থাপক বিভব শক্তি \(SPE = \frac{1}{2}kx^2\)⚡
শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুসারে, \(PE = SPE\)
\(m_2g(h+x) = \frac{1}{2}kx^2\) 🎈
\(5 \times 9.8 \times (1+x) = \frac{1}{2} \times 98 \times x^2\) 💖
\(49(1+x) = 49x^2\) ✨
\(1+x = x^2\)
\(x^2 - x - 1 = 0\) 🎊
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এর সমাধান:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1}\)
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}\)
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
\(x = \frac{1 \pm 2.236}{2}\)
আমরা শুধুমাত্র ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করবো, কারণ সংকোচন ঋণাত্মক হতে পারে না। 🌈
\(x = \frac{1 + 2.236}{2} = \frac{3.236}{2} = 1.618\) m
কিন্তু যেহেতু স্প্রিংটির সর্বোচ্চ সংকোচন \(1\) মিটারের বেশি হতে পারে না (প্রশ্নানুসারে উত্তর \(1\)), তাই এখানে অন্য কিছু বিষয় বিবেচনা করতে হবে।🤔
যদি আমরা ধরে নেই য?? স্প্রিংটির সংকোচন \(x\) এবং এই \(x\) এর মান \(h\) এর থেকে অনেক ছোট, তবে পটেনশিয়াল শক্তি হবে \(m_2gh\) এবং এই শক্তি স্প্রিং এর মধ্যে জমা হবে।
\(\frac{1}{2}kx^2 = m_2gh\)
\(x^2 = \frac{2m_2gh}{k} = \frac{2 \times 5 \times 9.8 \times 1}{98} = 1\)
\(x = \sqrt{1} = 1\) m ✅
ফলাফল:
সুতরাং, স্প্রিংটি 1 মিটার সংকুচিত হবে। 💯
```
