x² - 2k²x + k = 0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যেখানে k ≠ 0

দ্বিঘাত সমীকরণটির মূলদ্বয় সমান হলে, 'k' এর মান কত?

প্রশ্নঃ

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণঃ

\(x^2 - 2k^2x + k = 0\)

এবং জানানো হয়েছে যে, এই সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হলে, 'k' এর মান কত?

সমাধানঃ

ধরা যাক, সমীকরণের মূলদ্বয় হলো \(x_1\) ও \(x_2\)।

প্রথমত, এই সমীকরণের সমাধান সূত্রানুযায়ী মূলদ্বয় নির্ণয় করা যাক।

দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ সূত্রঃ

\(ax^2 + bx + c = 0\)

মূলদ্বয়ঃ

\(x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

অথবা, মূলদ্বয় সম্পর্কিত উপসংহারঃ

• সাম্যপূর্ণ মূলদ্বয় হলে, অর্থাৎ \(x_1 = x_2\), তখন মূলের পার্থক্য শূন্য হবে।
• অথবা, মূলদ্বয় সম্পর্কিত উপসংহারঃ
• গুণফলঃ
• \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)
• সাম্যপূর্ণ হলে, \(x_1 = x_2\), তাহলে মূলদ্বয় সমান।

প্রথমে, মূলদ্বয় নির্ণয় করি:

সমীকরণঃ

\(x^2 - 2k^2x + k = 0\)

এখানে, \(a=1\), \(b=-2k^2\), \(c=k\)

মূলদ্বয় সমান হলে,

প্রথমত, ডিসক্রিমিন্যান্ট নির্ণয় করি:

\(D = b^2 - 4ac = (-2k^2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4k^4 - 4k\)

মূলদ্বয় সমান হলে, ডিসক্রিমিন্যান্ট শূন্য হবে:

\(D = 0\)

অর্থাৎ,

\(4k^4 - 4k = 0\)

সাধারণীকরণ করি:

\(4(k^4 - k) = 0\)

অথবা,

\(k^4 - k = 0\)

এখানে,

\(k(k^3 - 1) = 0\)

সমাধানঃ

• প্রথমত, \(k=0\), কিন্তু প্রশ্নে উল্লেখ আছে \(k \neq 0\), তাই এই অপশন বাদ দেয়া হলো।
• অন্য অপশন হলো:
• \(k^3 - 1 = 0\)
• \(k^3 = 1\)
• \(k = \sqrt[3]{1} = 1\)

অতএব,

যখন মূলদ্বয় সমান হয়, তখন 'k' এর মান হয় \(1\)।

উত্তরঃ

\(k = 1\)