Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( x^3 - p x^2 + q x - r = 0 \) সমীকরণের মূলগুলো \( \alpha, \beta, \gamma \) ধরা হোক। এই মূলগুলির বিপরীত মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
ধরা যাক, মূলগুলো হলো \( \alpha, \beta, \gamma \)।
প্রথমে, মূলগুলো সম্পর্কিত ভেরিয়েবল:
\[
\text{Sum of roots: } \alpha + \beta + \gamma = p
\]
\[
\text{Sum of products of roots two at a time: } \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = q
\]
\[
\text{Product of roots: } \alpha \beta \gamma = r
\]
আমরা জানি, বিপরীত মূলগুলো হলো \( \frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma} \)।
এখন, এই বিপরীত মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণটির মূলগুলো হলো:
\[
\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}
\]
তাহলে, এই মূলগুলো সম্পর্কিত যোগফল ও গুণফল:
\[
\text{Sum: } \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma} = \frac{q}{r}
\]
\[
\text{Product of roots two at a time: } \frac{1}{\alpha \beta} + \frac{1}{\beta \gamma} + \frac{1}{\gamma \alpha} = \frac{\alpha + \beta + \gamma}{\alpha \beta \gamma} = \frac{p}{r}
\]
\[
\text{Product of roots: } \frac{1}{\alpha \beta \gamma} = \frac{1}{r}
\]
অর্থাৎ, বিপরীত মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণের সাধারণ আকার হবে:
\[
x^3 - \left( \frac{q}{r} \right) x^2 + \left( \frac{p}{r} \right) x - \frac{1}{r} = 0
\]
এই সমীকরণকে সমান করে গুণ করলে:
\[
r x^3 - q x^2 + p x - 1 = 0
\]
অতএব, বিপরীত মূলগুলো দ্বারা গঠিত সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{
r x^3 - q x^2 + p x - 1 = 0
}
\]
