কোন বস্তুকণার উপরস্থ একটি বিন্দুতে  √3, 2 ও 1 ক্রিয়াশীল বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে। ক্ষুদ্রতর বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ ???োনটি? 

প্রশ্নে বলা হয়েছে, তিনটি বলত্রয় (বস্তুকণা) একই সমান্তরাল বলের অধীনে রয়েছে এবং তাদের উপরস্থ বিন্দুতে বলের ক্রিয়াশীলতা \(\sqrt{3}\), 2, এবং 1।

তাহলে, তিনটি বলের মধ্যে বলের মান অনুযায়ী, বলের মানের অনুপাত হচ্ছে:

\(\sqrt{3} : 2 : 1\)

বলি ক্রিয়াশীল বলের মানের অনুপাতের সাথে বলের অবস্থানের মধ্যবর্তী কোণের সম্পর্ক রয়েছে। বলের মানের অনুপাতের সাথে কোণের সম্পর্ক বোঝার জন্য, বলের মানের সাথে কোণের কোসাইন সম্পর্ক বিবেচনা করি।

প্রতিটি বলের উপর নির্ভরশীল কোণ \(\theta\) এর জন্য, বলের মানের সাথে সম্পর্ক:

\(F \propto \cos \theta\)

অর্থাৎ, বলের মানের অনুপাত অনুযায়ী:

\(\frac{F_1}{F_2} = \frac{\cos \theta_1}{\cos \theta_2}\)

এখন, বলের মান অনুযায়ী, বলত্রয়্য হল: \(F_A = \sqrt{3}\), \(F_B = 2\), \(F_C = 1\)।

ক্ষুদ্রতর বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী বলের কোণ নির্ণয় করতে, ধরা যাক, বলগুলো \(A, B, C\)।

প্রথম, বলগুলোকে নির্ণয় করি। ধরা যাক, বলগুলো সমতল পৃষ্ঠে অবস্থান করছে।

তাহলে, বলের মানের অনুপাত অনুযায়ী, কোণগুলো হবে:

\(\frac{\cos \theta_A}{\cos \theta_B} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

এবং

\(\frac{\cos \theta_B}{\cos \theta_C} = \frac{2}{1} = 2\)

তাই, \(\cos \theta_A : \cos \theta_B : \cos \theta_C = \sqrt{3} : 2 : 1\)

এখন, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ, অর্থাৎ, বল \(A\) ও \(C\) এর মধ্যবর্তী বলের কোণ, যা \(B\) এর সাথে সম্পর্কিত।

অতএব, কোণের মান অনুযায়ী, \(\cos \theta\) এর অনুপাতের মধ্য দিয়ে, আমরা বুঝতে পারি যে, এই তিন কোণের মধ্যে মধ্যবর্তী কোণটি হবে 90°। কারণ, বলের মানের অনুপাতের ভিত্তিতে, মধ্যবর্তী কোণটি 90° হয়।

অতএব, উত্তর হল: 90°