inte^x(a/x-a/x^2)dx =  কত?  

প্রথমে, প্রদত্ত অসীম সমাকলনের সমাধান করতে হবে:

\[ \int e^x \left( \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} \right) dx \]

প্রথমত, সমাকলনটি বিভক্ত করা যায়:

\[ \int e^x \frac{a}{x} dx - \int e^x \frac{a}{x^2} dx \]

আমরা এখানে একটি নতুন পরিবর্তনশীল ব্যবহার করব।

ধরি, \( u = \frac{a}{x} \), তাহলে:

\[ u = \frac{a}{x} \Rightarrow x = \frac{a}{u} \]

এবং, ডিফারেনশিয়াল:

\[ du = -\frac{a}{x^2} dx \Rightarrow dx = -\frac{x^2}{a} du \]

উল্লেখ্য, \( x = \frac{a}{u} \), তাই:

\[ x^2 = \frac{a^2}{u^2} \]

অতএব, ডি.ইউ. এর সমীকরণটি হয়:

\[ dx = -\frac{a^2/u^2}{a} du = -\frac{a}{u^2} du \]

এখন, মূল ইন্টিগ্রেশনটি পুনরায় লিখি:

\[ \int e^x \left( \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} \right) dx = \int e^{a/u} (u - \frac{a}{x^2}) dx \]

তবে, এই পদ্ধতিতে সরাসরি সমাধান কঠিন।

অতএব, অন্য একটি সহজ পদ্ধতি গ্রহণ করি।

প্রথমে, মূল ইন্টিগ্রালটি আবার দেখি:

\[ I = \int e^x \left( \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} \right) dx \]

উপাদান দুটি পৃথক করে লিখি:

\[ I = a \int \frac{e^x}{x} dx - a \int \frac{e^x}{x^2} dx \]

প্রথম ইন্টিগ্রালটি একটি মানক ফাংশন নয়, তবে এটি একটি বিশেষ ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত।

তবে, লক্ষ্য যদি মূল সমাধানটি খুঁজে পাওয়া হয়, তাহলে লক্ষ্য করি যে, মূল সমাধানে একটি সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের মাধ্যমে পাওয়া যায়।

চিন্তা করি, ধরি \( y = \frac{a e^x}{x} \)।

এখন, চেক করি যে, এই \( y \) এর ডেরিভেটিভ কি ইন্টিগ্রালটির সমাধানে সাহায্য করতে পারে:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{a e^x}{x} \right) = a \frac{d}{dx} \left( \frac{e^x}{x} \right) \]

ডেরিভেটিভ হিসাব করি:

\[ a \left( \frac{d}{dx} e^x \cdot \frac{1}{x} + e^x \frac{d}{dx} \frac{1}{x} \right) = a \left( e^x \cdot \frac{1}{x} + e^x \cdot \left( - \frac{1}{x^2} \right) \right) \]

\[ a \left( \frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2} \right) = e^x \left( \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} \right) \]

অর্থাৎ, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{a e^x}{x} \right) = e^x \left( \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} \right) \]

সুতরাং, মূল ইন্টিগ্রালটি হলো:

\[ I = \int e^x \left( \frac{a}{x} - \frac{a}{x^2} \right) dx = \frac{a e^x}{x} + C \]