\( \int \frac{e^x + x e^x}{x e^x} dx \) এর মান কত?

প্রশ্নঃ

মূল্যায়ন করোঃ \( \int \frac{e^x + x e^x}{x e^x} dx \)

সমাধানঃ

প্রথমে, ইন্টিগ্রান্ডের ভেতরের ভগ্নাংশটি সরলীকরণ করি:

\[
\frac{e^x + x e^x}{x e^x} = \frac{e^x}{x e^x} + \frac{x e^x}{x e^x} = \frac{1}{x} + 1
\]

অতঃপর, মূল ইন্টিগ্রালটি হয়:

\[
\int \left( \frac{1}{x} + 1 \right) dx = \int \frac{1}{x} dx + \int 1 dx
\]

প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:

\[
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_1
\]
and
\[
\int 1 dx = x + C_2
\]

অতএব, সম্পূর্ণ সমাধান হলো:

\[
\ln |x| + x + C
\]

বলা যায়, \(\ln |x| + x + C\) সমাধানটি অনুরূপ এবং স্বাভাবিকভাবে লেখা যায়:

\( \ln |x e^x| + C \)

অতএব, উত্তরঃ

\( \boxed{\ln |x e^x| + C} \)