∫e^x (x+1) dx=?

সমাধান:

আমরা জানি, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হল:

\[ \int e^{x} (x + 1) \, dx \]

এখানে, আমরা ইন্টিগ্রেশন জন্য ইউনিট সাবসটিটিউশন বা বিকল্প ব্যবহার করব। চলুন, ধাপে ধাপে সমাধান করি:

ধাপ ১: বিভাজ্যকে দুটি ভাগে ভাগ করো

আমাদের ইন্টিগ্রালটি লিখতে পারি:

\[ \int e^{x} (x + 1) \, dx = \int e^{x} x \, dx + \int e^{x} \, dx \]

ধাপ ২: প্রথম অংশের জন্য ইন্টিগ্রেশন করুন: \(\int e^{x} x \, dx\)

এটি ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে সমাধান করা হবে। যে নিয়মটি ব্যবহার করব:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

ধাপ ৩: উপাদান নির্ণয়

আমরা ধরব:

• \( u = x \Rightarrow du = dx \)
• \( dv = e^{x} dx \Rightarrow v = e^{x} \)

ধাপ ৪: ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস প্রয়োগ

তাহলে:

\[ \int e^{x} x \, dx = x e^{x} - \int e^{x} \, dx \]

ধাপ ৫: দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল সমাধান করুন

আমাদের জানা:

\[ \int e^{x} \, dx = e^{x} + C \]

ধাপ ৬: মূল সমাধান লিখুন

অতএব,

\[ \int e^{x} x \, dx = x e^{x} - e^{x} + C \]

ধাপ ৭: মূল ইন্টিগ্রাল পূর্ণ করুন

আমাদের মূল ইন্টিগ্রাল ছিল:

\[ \int e^{x} (x + 1) \, dx = \int e^{x} x \, dx + \int e^{x} \, dx \]

অর্থাৎ:

\[ \int e^{x} (x + 1) \, dx = (x e^{x} - e^{x}) + e^{x} + C \]

সরলীকরণ করে, আমরা পাই:

\[ x e^{x} + C \]

উত্তর:

\( \boxed{\int e^{x} (x + 1) \, dx = x e^{x} + C} \)