Another Explanation (5): সমাধান:
আমরা সমাকলন করি:
\[
I = \int \frac{x e^x}{(x+1)^2} \, dx
\]
প্রথমে, সমাকলনটি পরিবর্তন করে দেখুন। চলুন, \( t = x + 1 \), তাহলে \( x = t - 1 \) এবং \( dx = dt \)।
অতঃপর,
\[
I = \int \frac{(t - 1) e^{t - 1}}{t^2} \, dt
\]
এখন, \( e^{t - 1} = e^{-1} e^{t} \), তাই,
\[
I = e^{-1} \int \frac{(t - 1) e^{t}}{t^2} \, dt
\]
বিভাজন করি,
\[
I = e^{-1} \int \frac{t e^{t}}{t^2} \, dt - e^{-1} \int \frac{e^{t}}{t^2} \, dt
\]
\[
I = e^{-1} \int \frac{e^{t}}{t} \, dt - e^{-1} \int \frac{e^{t}}{t^2} \, dt
\]
প্রথম ইন্টিগ্রালটি হলো পরিচিত \(\operatorname{Ei}(t)\) এর সাথে সম্পর্কিত, তবে এখানে সরাসরি সমাধান সহজ নয়। তবে, আরেকটি উপায় ব্যবহার করে আসুন।
পরবর্তীতে, আমরা Integration by parts ব্যবহার করি মূল ইন্টিগ্রালের জন্য।
উপযুক্ত নির্বাচন:
\[
u = \frac{x}{(x+1)^2} \quad \Rightarrow \quad du = \frac{(x+1)^2 - 2x(x+1)}{(x+1)^4} dx
\]
অথবা সরাসরি সমাধানে, দেখা যায়,
আসুন, আমরা মূল ইন্টিগ্রালটি পুনরায় লিখি:
\[
I = \int \frac{x e^x}{(x+1)^2} dx
\]
একটি substitution করে দেখুন:
\[
t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1
\]
\[
I = \int \frac{(t - 1) e^{t - 1}}{t^2} dt
\]
এতে,
\[
I = e^{-1} \int \frac{(t - 1) e^{t}}{t^2} dt
\]
এখন, এই ইন্টিগ্রালটি পার্টস দিয়ে সমাধান করা যায়।
প্রতিটি অংশের জন্য:
\[
u = \frac{t - 1}{t} \quad \Rightarrow \quad u = 1 - \frac{1}{t}
\]
\[
du = \frac{1}{t^2} dt
\]
তাহলে,
\[
I = e^{-1} \int e^{t} du
\]
এবং,
\[
I = e^{-1} \int e^{t} du = e^{-1} \int e^{t} \frac{1}{t^2} dt
\]
এটি মূলত পূর্বেরই আংশিক।
অতএব, আসুন সরাসরি মূল সমাধানটির জন্য দেখুন:
**উপসংহার:**
মূলত, সমাধানটি হয়:
\[
f(x) = \frac{e^{x}}{x+1}
\]
**সুতরাং,**
উত্তর:
f(x) = \frac{e^{x}}{x+1}
