\( a \) এর কোন মানের জন্য, ভেক্টরত্রয় সমতীয় হবে? \( 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \), \( 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \) ও \( \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k} \)

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ \( a \) এর কোন মানের জন্য, ভেক্টরত্রয় সমতীয় হবে? \( \vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \), \( \vec{B} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k} \) ও \( \vec{C} = \hat{i} - 3\hat{j} + a\hat{k} \)

উত্তরঃ "5"

সমাধানঃ

তারা সমতীয় হতে হলে, তাদের দিকের ভেক্টর সমান হত??? হবে। অর্থাৎ,

\[ \vec{A} \times \vec{B} = \vec{A} \times \vec{C} = \vec{B} \times \vec{C} \] অথবা, তিনটি ভেক্টর সমতীয় হলে, তাদের মধ্যে কোনো একটির সাথে অন্য দুটি ভেক্টর সমতীয় হবে।

তাই, প্রথমে দেখি \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমতীয় কি না।

দিকের ভেক্টর গুলো হলো:

\[ \vec{A} = \langle 2, 1, -1 \rangle \] \[ \vec{B} = \langle 3, -2, 4 \rangle \] \[ \vec{C} = \langle 1, -3, a \rangle \]

দিকের ভেক্টর গুলোর মধ্যে সমতীয়তা পরীক্ষা করতে পারি, তাদের মধ্যে ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য কি না।

প্রথম, \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) এর ক্রস প্রোডাক্ট:

\[ \vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] গুণফল নির্ণয় করি:

\[ \vec{A} \times \vec{B} = \hat{i} (1 \times 4 - (-1) \times (-2)) - \hat{j} (2 \times 4 - (-1) \times 3) + \hat{k} (2 \times (-2) - 1 \times 3) \] নির্ণয় করি:

\[ = \hat{i} (4 - 2) - \hat{j} (8 - (-3)) + \hat{k} (-4 - 3) \] \[ = \hat{i} (2) - \hat{j} (11) + \hat{k} (-7) \] অর্থাৎ, \[ \vec{A} \times \vec{B} = 2\hat{i} - 11\hat{j} - 7\hat{k} \] পূর্ববর্তী ভেক্টর \(\vec{A} \times \vec{B}\) এর সাথে \(\vec{C}\) এর ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হলে, তারা সমতীয় হবে। অর্থাৎ, \[ (\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \vec{0} \] অথবা, \(\vec{A} \times \vec{B}\) ও \(\vec{C}\) এর মধ্যে স্কেলার প্রোডাক্ট শূন্য হলে, তারা পরস্পর সমতীয় বা অপ্রতিনিধি। তবে, সরাসরি এই পথে না গিয়ে, ভেক্টর তিনটি সমতীয় কি না তা পরীক্ষা করতে সহজ হয়, তারা একই রেখায় থাকতে হবে। অতএব, এই জন্য, \(\vec{A}\) ও \(\vec{C}\) সমতীয় হলে, \[ \vec{A} = \lambda \vec{C} \] অর্থাৎ, \[ 2 = \lambda \times 1 \Rightarrow \lambda = 2 \] \[ 1 = \lambda \times (-3) \Rightarrow 1 = -3 \lambda \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3} \] দুই মানে মিলছে না। অতএব, \(\vec{A}\) ও \(\vec{C}\) সমতীয় নয়। একইভাবে, \(\vec{B}\) ও \(\vec{C}\) সমতীয় হলে, \[ 3 = \mu \times 1 \Rightarrow \mu = 3 \] \[ -2 = \mu \times (-3) \Rightarrow -2 = -3 \mu \Rightarrow \mu = \frac{2}{3} \] অন্য মান। তাই, এরা সমতীয় নয়। তবে, এই বিষয়টি বোঝানোর জন্য, মূল লক্ষ্য হলো \(\vec{A}\), \(\vec{B}\) ও \(\vec{C}\) সমতীয় হবে যদি, তাদের মধ্যে ক্রস প্রোডাক্ট শূন্য হয়, অর্থাৎ, তারা একই রেখায় থাকবে। তাই, \(\vec{A} \times \vec{B}\) ও \(\vec{C}\) এর স্কেলার প্রোডাক্ট শূন্য হলে, তারা সমতীয় হবে: \[ (\vec{A} \times \vec{B}) \cdot \vec{C} = 0 \] নিচে নির্ণয় করি: \[ (2, -11, -7) \cdot (1, -3, a) = 0 \] অর্থাৎ, \[ 2 \times 1 + (-11) \times (-3) + (-7) \times a = 0 \] নির্ণয় করি: \[ 2 + 33 - 7a = 0 \] \[ 35 = 7a \] \[ a = 5 \] অতএব, \( a = 5 \) হলে, তিনটি ভেক্টর সমতীয় হবে।