2hati-hatj+hatk, hati+2hatj-3hatk  এবং  3hati+ahati+5hatk  ভেক্টর তিনটি সমতলীয় হলে a এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে তিনটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে: \[ \vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \] \[ \vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \] \[ \vec{C} = 3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k} \] তাদের সমতলীয় হওয়ার জন্য, এই তিনটি ভেক্টরের মধ্যে নির্দিষ্ট সমতলের জন্য, তাদের ডট প্রোডাক্টের মাধ্যমে নির্ণয় করব। মূলত, তিনটি ভেক্টর যদি সমতলে থাকে, তাহলে তাদের ট্রিপল প্রডাক্ট শূন্য হবে: \[ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 \] প্রথমে, \(\vec{B} \times \vec{C}\) নির্ণয় করি: \[ \vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & a & 5 \end{vmatrix} \] এটি নির্ণয় করি: \[ \vec{B} \times \vec{C} = \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ a & 5 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{vmatrix} \] গণনা করি: \[ = \hat{i} (2 \times 5 - (-3) \times a) - \hat{j} (1 \times 5 - (-3) \times 3) + \hat{k} (1 \times a - 2 \times 3) \] \[ = \hat{i} (10 + 3a) - \hat{j} (5 + 9) + \hat{k} (a - 6) \] \[ = (10 + 3a)\hat{i} - 14\hat{j} + (a - 6)\hat{k} \] এখন, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\) হিসাব করি: \[ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (2)\times (10 + 3a) + (-1)\times (-14) + (1)\times (a - 6) \] \[ = 2(10 + 3a) + 14 + (a - 6) \] \[ = 20 + 6a + 14 + a - 6 \] \[ = (20 + 14 - 6) + (6a + a) = 28 + 7a \] এখন, সমতলীয় হওয়ার জন্য: \[ 28 + 7a = 0 \] \[ 7a = -28 \] \[ a = -4 \] অতএব, উত্তর: –4 ```html

প্রথমে তিনটি ভেক্টর দেওয়া হয়েছে:

<code>
\(\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}\)
\(\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}\)
\(\vec{C} = 3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}\)
</code>

তাদের সমতলীয় হওয়ার জন্য, এই তিনটি ভেক্টরের ট্রিপল প্রডাক্ট শূন্য হতে হবে:

<code>
\(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0\)
</code>

প্রথমে, \(\vec{B} \times \vec{C}\) নির্ণয় করি:

<code>
\(\vec{B} \times \vec{C} = 
\begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 2 & -3 \\
3 & a & 5
\end{vmatrix}
\)
</code>

এটি নির্ণয় করি:

<code>
\(\vec{B} \times \vec{C} = \hat{i} (2 \times 5 - (-3) \times a) - \hat{j} (1 \times 5 - (-3) \times 3) + \hat{k} (1 \times a - 2 \times 3)\)
</code>

গণনা করি:

<code>
= \hat{i} (10 + 3a) - \hat{j} (5 + 9) + \hat{k} (a - 6)
= (10 + 3a)\hat{i} - 14\hat{j} + (a - 6)\hat{k}
</code>

এখন, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\) হিসাব করি:

<code>
\(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = (2)\times (10 + 3a) + (-1)\times (-14) + (1)\times (a - 6)\)
= \(2(10 + 3a) + 14 + (a - 6)\)
= \(20 + 6a + 14 + a - 6\)
= \(\boxed{28 + 7a}\)
</code>

অতএব, সমতলীয় হওয়ার জন্য:

<code>
28 + 7a = 0
</code>

অর্থাৎ:

<code>
a = -4
</code>