hati+hatj-hatk,hati-hatj+hatk এবং  -hati+hatj+ahatk ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হল্ব ধ্রুবক a এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া ভেক্টর তিনটি হল: \[ \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \] \[ \vec{B} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k} \] \[ \vec{C} = -\hat{i} + \hat{j} + a \hat{k} \] উপস্থাপিত শর্ত অনুযায়ী, এই তিনটি ভেক্টর সমতলে অবস্থিত। অর্থাৎ, এই তিনটি ভেক্টর লাইনarly dependent, অর্থাৎ তাদের মধ্যে একটি ভেক্টর অন্য দুটি ভেক্টরের সমন্বয়ে প্রকাশ্য। বা, এই তিনটি ভেক্টরকে যদি একটি সমতলের ভিত্তি হিসেবে বিবেচনা করি, তবে তাদের জেনারেটর ভেক্টরগুলির মধ্যে একটি অন্য দুটি দ্বারা প্রকাশ্য হবে বা, অন্যভাবে বললে, এই তিনটি ভেক্টর সমতলে অবস্থিত মানে তাদের সমন্বয়ে একটি নির্দিষ্ট সমতল তৈরি হয়। ### সমতলের জন্য শর্ত: তাদের সর্বজনীন সমন্বিত ভেক্টর (scalar triple product) শূন্য হওয়া উচিত: \[ \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = 0 \] প্রথমে \(\vec{B} \times \vec{C}\) নির্ণয় করি: \[ \vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & a \\ \end{vmatrix} \] ### \(\vec{B} \times \vec{C}\) এর উপাদান নির্ণয়: \[ = \hat{i} \left( (-1) \times a - 1 \times 1 \right) - \hat{j} \left( 1 \times a - 1 \times (-1) \right) + \hat{k} \left( 1 \times 1 - (-1) \times (-1) \right) \] \[ = \hat{i} (-a - 1) - \hat{j} (a + 1) + \hat{k} (1 - 1) \] \[ = \hat{i} (-a - 1) - \hat{j} (a + 1) + 0 \hat{k} \] ### এখন, \(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C})\): \[ \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \] \[ \Rightarrow (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot [(-a - 1) \hat{i} - (a + 1) \hat{j} + 0 \hat{k}] \] \[ = 1 \times (-a - 1) + 1 \times (-a - 1) + (-1) \times 0 \] \[ = (-a - 1) + (-a - 1) + 0 \] \[ = -a - 1 - a - 1 \] \[ = -2a - 2 \] ### সমতলে অবস্থিতির জন্য এটি শূন্য হতে হবে: \[ -2a - 2 = 0 \] \[ => -2a = 2 \] \[ => a = -1 \] **অতএব, উত্তর: \(\boxed{-1}\)**