\( \left| \begin{matrix} x + y & x & y \\ x & z & z \\ y & z & y + z \end{matrix} \right| \) নির্ণায়কের মান কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রথমে, আমরা ডিটারমিন্যান্টটি নির্ণয় করব:

ডিটারমিন্যান্ট:

\[ D = \left| \begin{matrix} x + y & x & y \\ x & z & z \\ y & z & y + z \end{matrix} \right| \]

প্রথম সারি থেকে প্রথম কলাম অনুযায়ী অপারেশন করে সহজ করা যাক।

এখানে, আমরা প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারিকে পরিবর্তন করব:

সারিগুলির পরিবর্তন:

• সারি ২ থেকে সারি ১ বাদ দিন: \( R_2 \rightarrow R_2 - R_1 \)
• সারি ৩ থেকে সারি ১ বাদ দিন: \( R_3 \rightarrow R_3 - R_1 \)

নতুন সারিগুলি:

\[ R_2 = (x - (x + y),\, z - x,\, z - y) = (-y,\, z - x,\, z - y) \] \[ R_3 = (y - (x + y),\, z - x,\, y + z - y) = (-x,\, z - x,\, z) \]

অতএব, ডিটারমিন্যান্ট এখন হয়:

\[ D = \left| \begin{matrix} x + y & x & y \\ -y & z - x & z - y \\ -x & z - x & z \end{matrix} \right| \]

এখন, এই ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি। প্রথম সারি থেকে প্রথম কলাম অনুযায়ী অপারেশন করে সহজ করি।

মোটামুটি, ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করতে নিচের পদক্ষেপগুলো অনুসরণ করব:

1. প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় ও তৃতীয় সারি বাদ দিন:
2. অপরিহার্যভাবে, উপরের সারি ও কলাম ব্যবহার করে ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করি।

আমরা এখন ডিটারমিন্যান্টের মান নির্ণয় করব সরাসরি অঙ্ক করে:

D = (x + y) * | (z - x)  z - y |
             | z - x     z     | 

এটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট, যা হয়:

\[ D = (x + y) \left[ (z - x) \times z - (z - y) \times (z - x) \right] \]

এখন, এটা সমাধান করি:

D = (x + y) [ (z - x)z - (z - y)(z - x) ]

প্রথম, উভয় অংশের বিকরণ করি:

(z - y)(z - x) = z(z - x) - y(z - x) = z^2 - xz - yz + xy

অতএব, ডিটারমিন্যান্টের মান:

D = (x + y) [ (z - x)z - (z^2 - xz - yz + xy) ]

D = (x + y) [ z(z - x) - z^2 + xz + yz - xy ]

সাধারণ করে লিখলে:

D = (x + y) [ z^2 - xz - z^2 + xz + yz - xy ]

এখানে, \( z^2 \) ও \( - z^2 \) বাতিল হবে, এবং \( - xz \) ও \( + xz \) বাতিল হবে। ফলে, আমরা পাই:

D = (x + y) [ yz - xy ] = (x + y) y (z - x)

অতএব, নির্ণয়কটির মান হলো:

\( D = (x + y) \times y \times (z - x) \)

এখানে, ডিটারমিন্যান্টের মান "xyz" এর সমান হলে, এর মান হবে:

যেহেতু, এখানে শুধুমাত্র সমীকরণে x, y, z এর গুণফল দেখা যাচ্ছে, তাহলে আনুমানিকভাবে ডিটারমিন্যান্টের মান হবে:

উত্তর: \( xyz \)