i. cos2θ=cos²θ−sin²θ

ii.  cos2theta=(1-tan^2theta)/(1+tan^2theta) 

iii. cos2theta=(cot^2theta-1)/(cosec^2theta) 

নিচের কোনটি সঠিক ?

এটি পরিচিত প্রমাণিত ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ।

প্রমাণ: \[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \] এটি ডাবল অ্যাঙ্গেল ফর্মুলার একটি মৌলিক সমীকর??।

অতএব, এটি সত্য।

এটি ডাবল অ্যাঙ্গেল ফর্মুলার আরেকটি রূপ।

প্রমাণ: \[ \cos 2\theta = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{1} \] তবে, \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\), তাই: \[ \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \] এটি প্রমাণিত।

অতএব, এটি সত্য।

এটি যাচাই করতে, প্রথমে রূপান্তর করি:

প্রথমে, \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\), তাই: \[ \cot^2 \theta = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \] এবং, \[ \csc^2 \theta = \frac{1}{\sin^2 \theta} \] তাহলে, \[ \frac{\cot^2 \theta - 1}{\csc^2 \theta} = \frac{\frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} - 1}{\frac{1}{\sin^2 \theta}} = \frac{\frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}}{\frac{1}{\sin^2 \theta}} = \frac{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{1} = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \] এবং, \[ \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \] তাই, উপরের রূপটি সত্য, এবং এটি \(\cos 2\theta\) এর মূল সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

অতএব, এটি সত্য।