\( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \) অধিবৃত্ত ( Hyperbola ) টির শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাংক কত?

সমাধান:

প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:

\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \]

এটি একটি হাইপারবলার (Hyperbola) যা x-অক্ষের সাথে সংশ্লিষ্ট।

সাধারণ হাইপারবোলার শীর্ষবিন্দু (Vertices) এর স্থানাংক নির্ণয়ের জন্য, সমীকরণের সাধারণ রূপ গ্রহণ করি:

\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \]

এখানে, কেন্দ্রের স্থানাংক হলো \((h, k)\), এবং শীর্ষবিন্দুর স্থানাংকের জন্য মূল অক্ষে \(a\) এর মান নির্ণয় করি।

ধাপ ১: কেন্দ্রের স্থানাংক নির্ণয়

প্রদত্ত সমীকরণে, \(\frac{x^2}{4}\) এর মানে \(h=0\), \(k=0\), অর্থাৎ কেন্দ্রের স্থানাংক হলো \((0,0)\)।

ধাপ ২: শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক নির্ণয়

শীর্ষবিন্দু মানে, x-অক্ষে সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন মান যেখানে হাইপারবলাটি স্পর্শ করে।

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

এখানে, \(a^2 = 4 \Rightarrow a=2\), এবং \(b^2=9\)

অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দু গুলি কেন্দ্রের থেকে \(\pm a\) দূরত্বে x-অক্ষে অবস্থান করে।

সম্ভাব্য স্থানাংক:

\[ (a, 0) \text{ এবং } (-a, 0) \]

\[ (2, 0) \text{ এবং } (-2, 0) \]

উত্তর:

শীর্ষবিন্দু দুইটির স্থানাংক হলো: (±2, 0)