If vecA = hati-hatj+hatk  and  vecB= sqrt3 hati+3hatj-2hatk are the adjacent sides of a triangle, what is the area of the triangle in square unit?

🤔ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হলে, প্রথমে \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) ভেক্টরদ্বয়ের ক্রস গুণফল বের করতে হবে। তারপর সেই ক্রস গুণফলের মান (magnitude) নির্ণয় করে তাকে 2 দিয়ে ভাগ করতে হবে।

ধাপ 1: ক্রস গুণফল নির্ণয়:

\(\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ \sqrt{3} & 3 & -2 \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i}[(-1 \times -2) - (1 \times 3)] - \hat{j}[(1 \times -2) - (1 \times \sqrt{3})] + \hat{k}[(1 \times 3) - (-1 \times \sqrt{3})]\)

\(= \hat{i}[2 - 3] - \hat{j}[-2 - \sqrt{3}] + \hat{k}[3 + \sqrt{3}] \)

\(= -\hat{i} + (2 + \sqrt{3})\hat{j} + (3 + \sqrt{3})\hat{k}\)

ধাপ 2: ক্রস গুণফলের মান নির্ণয়:

\(|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-1)^2 + (2 + \sqrt{3})^2 + (3 + \sqrt{3})^2}\)

\(= \sqrt{1 + (4 + 4\sqrt{3} + 3) + (9 + 6\sqrt{3} + 3)}\)

\(= \sqrt{1 + 7 + 4\sqrt{3} + 12 + 6\sqrt{3}}\)

\(= \sqrt{20 + 10\sqrt{3}}\)

ধাপ 3: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

Area = \( \frac{1}{2} |\vec{A} \times \vec{B}| \)

\(= \frac{1}{2} \sqrt{20 + 10\sqrt{3}}\)

\(= \frac{1}{2} \sqrt{10(2 + \sqrt{3})}\)

\(= \sqrt{\frac{10}{4}(2 + \sqrt{3})}\)

\(= \sqrt{\frac{5}{2}(2 + \sqrt{3})}\)

\(= \sqrt{\frac{10 + 5\sqrt{3}}{2}}\)

\(= \sqrt{5 + \frac{5\sqrt{3}}{2}}\)

🤔 এখন প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলানোর চেষ্টা করি:

\(\frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{22 - \sqrt{3}}\)

\(= \sqrt{\frac{22 - \sqrt{3}}{2}}\)

\(= \sqrt{11 - \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

⚠️দুঃখিত, প্রদত্ত উত্তরটির সাথে গণনা করা উত্তরটি মিলছে না। 🤔 সম্ভবত প্রশ্ন অথবা উত্তরে কোথাও ভুল আছে। ক্ষেত্রফল হবে \( \frac{1}{2} \sqrt{20 + 10\sqrt{3}} \) বর্গ একক। 📏