²ⁿP₃ = 2 × ⁿP₄ হয়, তাহলে n এর মান নির্ণয় কর?

প্রশ্ন: ²ⁿP₃ = 2 × ⁿP₄ হয়, তাহলে n এর মান নির্ণয় কর?

সমাধান:

আমরা জানি, ⁿP_r = \(\frac{n!}{(n-r)!}\)

সুতরাং, ²ⁿP₃ = \(\frac{(2n)!}{(2n-3)!}\) = (2n)(2n-1)(2n-2)

এবং ⁿP₄ = \(\frac{n!}{(n-4)!}\) = n(n-1)(n-2)(n-3)

প্রশ্নানুসারে, ²ⁿP₃ = 2 × ⁿP₄

অতএব, (2n)(2n-1)(2n-2) = 2 × n(n-1)(n-2)(n-3)

বা, 2n(2n-1)2(n-1) = 2n(n-1)(n-2)(n-3)

যেহেতু n ≠ 0 এবং n ≠ 1, তাই উভয় পক্ষকে 2n(n-1) দ্বারা ভাগ করে পাই,

2(2n-1) = (n-2)(n-3)

বা, 4n - 2 = n² - 5n + 6

বা, n² - 9n + 8 = 0

বা, n² - 8n - n + 8 = 0

বা, n(n-8) - 1(n-8) = 0

বা, (n-1)(n-8) = 0

সুতরাং, n = 1 অথবা n = 8

যেহেতু ⁿP₄ এর জন্য n এর মা?? 4 এর থেকে বড় অথবা সমান হতে হবে, তাই n = 1 গ্রহণযোগ্য নয়। 😒

অতএব, n = 8। 🎉

উত্তর: 8