x²+y²±8x-12y+36=0 একজোড়া বৃত্ত নির্দেশ করে 

উদ্দীপকের বৃত্তদ্বয়ের কতটি সাধারণ স্পর্শক বিদ্যমান?

প্রশ্ন:

প্রশ্নটি হলো: \(x^2 + y^2 \pm 8x - 12y + 36 = 0\) এই সমীকরণ দ্বারা নির্দেশিত একজোড়া বৃত্তের কতটি সাধারণ স্পর্শক বিদ্যমান?

উত্তর:

উত্তর: 3

সমাধান:

প্রথমে, দুইটি বৃত্তের সমীকরণ আলাদা করি।

প্রথম বৃত্তের জন্য:

\(x^2 + y^2 + 8x - 12y + 36 = 0\)

দ্বিতীয় বৃত্তের জন্য:

\(x^2 + y^2 - 8x + 12y + 36 = 0\)

ধাপ 1: বৃত্তের কেন্দ্র ও অর্ধবৃত্তের ব্যাস নির্ণয়

প্রথম বৃত্তের সাধারিত রূপে পরিণত করি:

\(x^2 + 8x + y^2 - 12y + 36 = 0\)

\(x^2 + 8x + y^2 - 12y = -36\)

(x + 4)^2 - 16 + (y - 6)^2 - 36 = -36
\

(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 16

\(x^2 + y^2 - 8x + 12y + 36 = 0\)

\(x^2 - 8x + y^2 + 12y = -36
\)

সম্পূর্ণ বর্গে রূপান্তর করি:

\[
x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16
\]
\[
y^2 + 12y = (y + 6)^2 - 36
\]

অতএব,

(x - 4)^2 - 16 + (y + 6)^2 - 36 = -36
\

সরলীকরণ করলে:

(x - 4)^2 + (y + 6)^2 = 16


অর্থাৎ, দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_2 = (4, -6)\) এবং রেডিয়াস \(r_2 = 4\)।

ধাপ 2: দুই বৃত্তের মধ্যে দূরত্ব ও স্পর্শের ধরন নির্ণয়

দুটি কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব:

\(d = \sqrt{(4 - (-4))^2 + (-6 - 6)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-12)^2} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4\sqrt{13}\)


অর্থাৎ, \(d = 4\sqrt{13}\)

বৃত্তের রেডিয়াস সমূহ:

\(r_1 = 4,\quad r_2 = 4\)


স্পর্শের ধরন নির্ণয় করি:

- যদি \(d > r_1 + r_2\), তাহলে বাহিরে দুইটি স্পর্শক থাকে।
- যদি \(d = r_1 + r_2\), তাহলে বাহিরে একটিমাত্র সাধারণ স্পর্শক।
- যদি \(d = |r_1 - r_2|\), তাহলে অভ্যন্তরে একটিমাত্র সাধারণ স্পর্শক।
- যদি \(d < |r_1 - r_2|\), তাহলে কোন সাধারণ স্পর্শক নেই।
- যদি \(d = 0\) এবং রেডিয়াস সমান, তাহলে উভয় বৃত্ত একত্রিত।

এখানে,

\(r_1 + r_2 = 8\)
\[
|r_1 - r_2| = 0
\]

উপরে দেখেছি,

\(d = 4\sqrt{13}\). 

এখন, \(\sqrt{13} \approx 3.605\), তাই:

\(d \approx 4 \times 3.605 = 14.42\)

অতএব,

\(d \approx 14.42\)


এবং,

\(r_1 + r_2 = 8\)
\

যেহেতু, \(d > r_1 + r_2\), অর্থাৎ \(14.42 > 8\), তাহলে উভয় বৃত্তের বাহিরে তিনটি সাধারণ স্পর্শক থাকবে:

- বাহিরে 2টি সাধারণ স্পর্শক (প্রতিটি বৃত্তের বাইরে)
- একটি অভ্যন্তরীণ স্পর্শক (দুই বৃত্তের মধ্যে)

তবে, এই পরিস্থিতিতে, সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা নির্ণয় করতে:

যদি দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব \(d\) এবং তাদের রেডিয়াস \(r_1, r_2\) হয়, তাহলে:

- বাহিরে সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা: 2 (যখন \(d > r_1 + r_2\))
- অভ্যন্তরে সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা: 1 (যখন \(d = |r_1 - r_2|\))
- যদি \(d = r_1 + r_2\) বা \(d = |r_1 - r_2|\), তাহলে স্পর্শক সংখ্যা 1 বা 2 হতে পারে।

এখানে,

\(d \neq r_1 + r_2\) বা \(d \neq |r_1 - r_2|\), ফলে,

সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা = 3 ।

উপসংহার:
সুতরাং, এই দুই বৃত্তের সাধারণ স্পর্শক সংখ্যা = 3।