Another Explanation (5): প্রদত্ত তথ্য অনুসারে, আমাদের একটি বৃত্তের সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে যা:
1. কেন্দ্র \((4,3)\)।
2. সরল রেখাকে স্পর্শ করে (ট্যাঞ্জেন্ট) \( 5x - 12y + 3 = 0 \)।
---
### ধাপ ১: বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ
ধরা যাক, বৃত্তের সমীকরণ হল:
\[
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
\]
এখানে, কেন্দ্র \((h,k)\) এর জন্য,
\[
h = -g, \quad k = -f
\]
অর্থাৎ,
\[
g = -h, \quad f = -k
\]
আমাদের ক্ষেত্রে, কেন্দ্র \((4,3)\), তাই:
\[
g = -4, \quad f = -3
\]
অত:
\[
x^2 + y^2 - 8x - 6y + c = 0
\]
---
### ধাপ ২: বৃত্তের কেন্দ্র ও রেখার দূরত্বের সমীকরণ
রেখা \( 5x - 12y + 3 = 0 \) এর উপর স্পর্শ করে এমন বৃত্তের জন্য, কেন্দ্র থেকে রেখার দূরত্ব সমান বৃত্তের অর্ধ-প্রস্থের (অর্থাৎ, এর ব্যাসের জন্য)।
দূরত্বের সূত্র:
\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
এখানে, \( (x_0, y_0) = (4,3) \), এবং রেখার সমীকরণটি \( 5x - 12y + 3 = 0 \)।
অর্থাৎ,
\[
d = \frac{|5 \times 4 - 12 \times 3 + 3|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 36 + 3|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|-13|}{\sqrt{169}} = \frac{13}{13} = 1
\]
### ধাপ ৩: বৃত্তের অর্ধ-প্রস্থ (অর্থাৎ, ব্যাসের অর্ধেক)
বৃত্তের অর্ধ-প্রস্থ \(r\) সমান হবে এই দূরত্বের:
\[
r = 1
\]
অত:
\[
r^2 = 1^2 = 1
\]
### ধাপ ৪: বৃত্তের সমীকরণে \(c\) এর মান নির্ণয়
বৃত্তের সমীকরণে, কেন্দ্র \((4,3)\) এবং \(r = 1\):
\[
(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1
\]
বহির্মুখ সমীকরণে রূপান্তর করলে:
\[
x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 1
\]
\[
x^2 + y^2 - 8x - 6y + (16 + 9 - 1) = 0
\]
\[
x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0
\]
---
### চূড়ান্ত উত্তর:
অতএব, বৃত্তের সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{
x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0
}
\]
