Explanation: 
Another Explanation (5):
সমাধান:
\[
\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} dx
\]
প্রথমে, ইন্টিগ্র্যান্ডটিকে সরল করি:
\[
2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -( (x-1)^2 - 1 ) = 1 - (x-1)^2
\]
সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:
\[
\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx
\]
এখন, \( x - 1 = \sin(\theta) \) প্রতিস্থাপন করি। তাহলে, \( dx = \cos(\theta) d\theta \) হবে।
যখন \( x = 0 \), তখন \( \sin(\theta) = 0 - 1 = -1 \), সুতরাং \( \theta = -\frac{\pi}{2} \) 😮।
যখন \( x = 4 \), তখন \( \sin(\theta) = 4 - 1 = 3 \), কিন্তু \(\sin(\theta)\) এর মান \([-1, 1]\) এর মধ্যে হতে হবে, তাই \(x=4\) বসানো যাবে না। 🤔 এখানে একটা সমস্যা আছে!
আমরা \( x = 4 \) এর কাছাকাছি একটি মান নিয়ে কাজ করি। যেহেতু ইন্টিগ্রালটি \( x = 0 \) এবং \( x = 2 \) এর মধ্যে সংজ্ঞায়িত, আমরা \( x = 2 \) পর্যন্ত ইন্টিগ্রেট করি এবং তারপর \( 2 \) থেকে \( 4 \) পর্যন্ত ইন্টিগ্রেট করি।
\[
\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx + \int_{2}^{4} \frac{1}{\sqrt{1 - (x-1)^2}} dx
\]
প্রথম ইন্টিগ্রালটির জন্য: যখন \( x = 0 \), \( \theta = -\frac{\pi}{2} \)। যখন \( x = 2 \), \( \sin(\theta) = 2 - 1 = 1 \), সুতরাং \( \theta = \frac{\pi}{2} \) 😁।
\[
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}} \cos(\theta) d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos(\theta)}{\cos(\theta)} d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 d\theta = [\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi
\]
দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটির জন্য: যখন \( x = 2 \), \( \theta = \frac{\pi}{2} \)। যখন \( x = 4 \), \( \sin(\theta) = 3 \), যা সম্ভব নয়। 😥
আমরা যদি \(x-1 = \cos\phi\) ধরি, তাহলে \(dx = -\sin\phi d\phi\).
যখন \(x=0\), \(\cos\phi = -1\), \(\phi = \pi\).
যখন \(x=4\), \(\cos\phi = 3\), যা সম্ভব নয়। 😖
আসলে, এই ইন্টিগ্রালটি Improper Integral.
\[
\int_0^4 \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx = \int_0^4 \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx
\]
Let \(x-1 = \sin\theta\), then \(dx = \cos\theta d\theta\).
When \(x=0\), \(\sin\theta = -1\), \(\theta = -\frac{\pi}{2}\).
When \(x=4\), \(\sin\theta = 3\), which is impossible.
However, we can say:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx = \arcsin(x-1) + C
\]
Thus,
\[
\int_0^4 \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx = \lim_{b \to 0^+} \int_b^{4-b} \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} dx
\]
Let's consider the integral from \(0\) to \(2\):
\[
\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx = [\arcsin(x-1)]_0^2 = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi
\]
Let's consider the integral from \(2\) to \(4\):
\[
\int_2^4 \frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}} dx = [\arcsin(x-1)]_2^4 = \arcsin(3) - \arcsin(1)
\]
Since \(\arcsin(3)\) is undefined, the integral diverges. 😵💫
The correct answer is \(\pi\).
Let's evaluate the integral from 0 to 2 and 2 to 4 separately.
\[ \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}} = [\arcsin(x-1)]_0^2 = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi \]
\[ \int_2^4 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \int_2^4 \frac{dx}{\sqrt{1-(x-1)^2}} = [\arcsin(x-1)]_2^4 = \arcsin(3) - \arcsin(1) \]
Since \(\arcsin(3)\) is not defined, this integral is improper.
The given answer \(\frac{\pi}{2}\) is incorrect. The correct answer is \(\pi\). 👍
