Another Explanation (5): সমাধান:
আমরা মূল সমীকরণটি বিবেচনা করি:
\[
I = \int_0^1 \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx
\]
প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির ইনটিগ্রেশন সহজ করার জন্য, চলক পরিবর্তন করি। ধরি:
\[
u = e^x
\]
অতএব,
\[
du = e^x dx
\]
এবং
\[
dx = \frac{du}{u}
\]
সীমা পরিবর্তন করি:
- যখন \(x = 0\),
\[
u = e^0 = 1
\]
- যখন \(x = 1\),
\[
u = e^1 = e
\]
অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[
I = \int_{u=1}^{u=e} \frac{u}{u + 1} \cdot \frac{1}{u} \, du = \int_1^e \frac{1}{u + 1} \, du
\]
এখন, ইন্টিগ্রালটি সোজা:
\[
I = \int_1^e \frac{1}{u + 1} \, du
\]
প্রতিপাদ্য:
\[
I = \left[ \ln|u + 1| \right]_1^e = \ln(e + 1) - \ln(1 + 1)
\]
সুতরাং,
\[
I = \ln(e + 1) - \ln 2
\]
**উত্তর:**
In(e + 1) − In2
