Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/3} \frac{dx}{1 - \sin x}\) এর মান কি?
সমাধান:
প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির সমাধানে আমরা সাধারণত ট্রিগনোমেট্রিক রূপান্তর ব্যবহার করি।
ধরা যাক,
\[
I = \int \frac{dx}{1 - \sin x}
\]
এখন, আমরা রূপান্তর করতে পারি:
\[
\frac{1}{1 - \sin x}
\]
এটি রূপান্তর করতে আমরা নিম্নলিখিত পরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করব:
\[
\frac{1}{1 - \sin x} = \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{\cos x} \quad \text{(সাধারণত এই রূপান্তর নয়, বরং অন্য উপায় ব্যবহার করি)}
\]
অথবা, আরও সাধারণভাবে, আমরা রূপান্তর করতে পারি:
\[
1 - \sin x = 1 - \sin x
\]
আমরা ব্যবহার করব ট্রিগনোমেট্রিক রূপান্তর:
\[
\frac{1}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x}
\]
তাই,
\[
I = \int \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x} dx
\]
এখন, বিভাজিত করে দুটি অংশে লিখি:
\[
I = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx
\]
পাঠ করবো:
\[
I = \int \sec^2 x\, dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx
\]
প্রথম অংশের সমাধান:
\[
\int \sec^2 x\, dx = \tan x + C
\]
দ্বিতীয় অংশের জন্য, আমরা substitution করি:
\[
u = \cos x \Rightarrow du = - \sin x\, dx
\]
অতএব,
\[
\sin x\, dx = - du
\]
এবং,
\[
\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = - \int \frac{1}{u^2} du
\]
এটি সমাধান হবে:
\[
- \int u^{-2} du = - \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x}
\]
অতএব,
\[
I = \tan x + \frac{1}{\cos x} + C
\]
অর্থাৎ,
\[
\int \frac{dx}{1 - \sin x} = \tan x + \sec x + C
\]
অতএব, নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটির মান:
\[
\int_0^{\pi/3} \frac{dx}{1 - \sin x} = \left[ \tan x + \sec x \right]_0^{\pi/3}
\]
অর্থাৎ,
প্রথমে,
\[
x = \frac{\pi}{3}
\]
সুতরাং,
\[
\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}
\]
\[
\sec \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
পরের দিকে,
\[
x = 0
\]
সুতরাং,
\[
\tan 0 = 0
\]
\[
\sec 0 = 1
\]
অতএব, মান হবে:
\[
(\sqrt{3} + 2) - (0 + 1) = \sqrt{3} + 2 - 1 = \sqrt{3} + 1
\]
উত্তর: \(\boxed{\mathbf{1 + \sqrt{3}}}\)
