যদি \( \vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \) হয় তবে এদের মধ্যবর্তী কোণ?

আমরা জানি, \( \vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta} \hat{n} \) এবং \( \vec{B} \times \vec{A} = |\vec{B}| |\vec{A}| \sin{\phi} (-\hat{n}) \) যেখানে \( \theta \) এবং \( \phi \) হলো \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) এর মধ্যবর্তী কোণ এবং \( \hat{n} \) হলো \( \vec{A} \) ও \( \vec{B} \) দ্বারা গঠিত তলের উপর লম্ব একক ভেক্টর। 🤔

প্রশ্নানুসারে, \( \vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \)। 🤔

সুতরাং, \( |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta} \hat{n} = -[|\vec{B}| |\vec{A}| \sin{\phi} (-\hat{n})] \)。 😲

অতএব, \( |\vec{A}| |\vec{B}| \sin{\theta} \hat{n} = |\vec{B}| |\vec{A}| \sin{\phi} \hat{n} \)।

যেহেতু \( |\vec{A}| |\vec{B}| \neq 0 \) এবং \( \hat{n} \neq 0 \), তাই \( \sin{\theta} = \sin{\phi} \) হবে।

এখন, \( \vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \) দেওয়া আছে। এর মানে হলো ভেক্টর গুণফলের দিক পরিবর্তন হচ্ছে। 🧐 দিক পরিবর্তনের জন্য \( \theta \) এবং \( \phi \) এর মধ্যে সম্পর্ক \( \theta = \pi - \phi \) হতে হবে। 👍

অতএব, \( \sin{\theta} = \sin{(\pi - \theta)} = \sin{\theta} \)।

সুতরাং, \( \theta = \pi - \theta \) অথবা, \( 2\theta = \pi \)। 😥

অতএব, \( \theta = \frac{\pi}{2} \) অথবা \( \theta = \pi \)।

যদি \( \theta = \frac{\pi}{2} \) হয়, তবে \( \vec{A} \times \vec{B} \) এবং \( -\vec{B} \times \vec{A} \) উভয়ই অশূন্য হবে এবং তাদের দিক বিপরীত হবে।

কিন্তু যদি \( \theta = \pi \) হয়, তবে \( \sin{\theta} = 0 \) হবে এবং \( \vec{A} \times \vec{B} = 0 \) এবং \( \vec{B} \times \vec{A} = 0 \) হবে। সুতরাং, \( \vec{A} \times \vec{B} = -\vec{B} \times \vec{A} \) শর্তটি পূরণ হবে। 🎉

অতএব, \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) এর মধ্যবর্তী কোণ \( \pi \) (180°) ।