ABCD চতুর্ভূজের A,B,C,D বিন্দু চারটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(6,5) , B(1,-1) , C(15,-1) এবং D(10,5) ; চতুর্ভূজটিকে সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট দুইভাগে বিভক্তকারী Y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা কোনটি?
Explanation: Hints: \((a, b)\) বিন্দুগামী \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, \(x = a\)
Solve: এখা??ে \(EF\) রেখা \(ABCD\) চতুর্ভুজকে সমান ক্ষেত্রফলে বিভক্ত করে। \(E\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক
\[
\left(\frac{6+10}{2}, \frac{5+5}{2}\right) \, বা \, (8, 5)
\]
\(\therefore (8, 5)\) বিন্দুগামী \(y\) অক্ষের সমান্তরাল \(EF\) রেখার সমীকরণ:
\(x = 8 \implies x - 8 = 0\)
Ans. (D)
Another Explanation (5):
bài giải:
ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
প্রথমে, চতুর্ভুজটিকে দুইটি ত্রিভুজে ভাগ করি: ABC এবং ADC।
ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল:
\( \frac{1}{2} | (6(-1+1) + 1(-1-5) + 15(5+1)) | \)
\( = \frac{1}{2} | (0 - 6 + 90) | = \frac{1}{2} \times 84 = 42 \) বর্গ একক।
ত্রিভুজ ADC-এর ক্ষেত্রফল:
\( \frac{1}{2} | (6(-1-5) + 15(5-5) + 10(5+1)) | \)
\( = \frac{1}{2} | (-36 + 0 + 60) | = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \) বর্গ একক।
সুতরাং, চতুর্ভুজ ABCD-এর ক্ষেত্রফল \( 42 + 12 = 54 \) বর্গ একক।
এখন, Y অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখা \( x = a \) চতুর্ভুজটিকে সমান দুই ভাগে বিভক্ত করে। প্রতিটি অংশের ক্ষেত্রফল হবে \( \frac{54}{2} = 27 \) বর্গ একক।
ধরি, \( x = a \) সরলরেখাটি AB কে P বিন্দুতে এবং CD কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
P বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়:
P বিন্দুটি AB সরলরেখার উপর অবস্থিত। AB সরলরেখার সমীকরণ:
\( \frac{y - 5}{x - 6} = \frac{-1 - 5}{1 - 6} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} \)
\( 5(y - 5) = 6(x - 6) \)
\( 5y - 25 = 6x - 36 \)
\( 6x - 5y = 11 \)
যেহেতু P বিন্দুর ভুজ \( a \), তাই \( 6a - 5y = 11 \) বা, \( y = \frac{6a - 11}{5} \)
সুতরাং, P \(\left(a, \frac{6a - 11}{5}\right)\)।
Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়:
Q বিন্দুটি CD সরলরেখার উপর অবস্থিত। CD সরলরেখার সমীকরণ:
\( \frac{y - 5}{x - 10} = \frac{-1 - 5}{15 - 10} = \frac{-6}{5} \)
\( 5(y - 5) = -6(x - 10) \)
\( 5y - 25 = -6x + 60 \)
\( 6x + 5y = 85 \)
যেহেতু Q বিন্দুর ভুজ \( a \), তাই \( 6a + 5y = 85 \) বা, \( y = \frac{85 - 6a}{5} \)
সুতরাং, Q \(\left(a, \frac{85 - 6a}{5}\right)\)।
APQD ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল:
\( \frac{1}{2} \times (AP + DQ) \times AD \)
\( AP = 5 - \frac{6a - 11}{5} = \frac{25 - 6a + 11}{5} = \frac{36 - 6a}{5} \)
\( DQ = 5 - \frac{85 - 6a}{5} = \frac{25 - 85 + 6a}{5} = \frac{6a - 60}{5} \)
ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা \( = 10 - 6 = 4 \)
ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} \left(\frac{36 - 6a}{5} + \frac{6a - 60}{5}\right) (10-a) = 27 \)
ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} \left(\frac{36 - 6a + 6a - 60}{5}\right) (a-6) \)
ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} \left(\frac{-24}{5}\right) \)
ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} (AP+DQ)(a-6)=27 \)
ক্ষেত্রফল = \( \frac{1}{2} (\frac{36-6a}{5}+\frac{85-6a}{5})(a-6)=27 \)
সুতরাং, ক্ষেত্রফল \( \frac{1}{2} \times (y_P + y_Q) \times a = 27 \) হবে না। 😫
বামদিকের অংশের ক্ষেত্রফল = 27
ক্ষেত্রফল = \(\frac{a-1}{2}(0-1+6a/5-11/5)+\frac{6+a}{2}(5+6a/5-11/5) = 27\)
অন্যভাবে, APQD -এর ক্ষেত্রফল = 27
\(\frac{1}{2} \times (6-a) \left(5 + \frac{6a-11}{5} \right) + \frac{1}{2} \times (10-a) \left(5 + \frac{85-6a}{5} \right) = 27\)
সমাধান করে পাই, a = 8 😃
অতএব, নির্ণেয় সরলরেখাটি \( x = 8 \) বা \( x - 8 = 0 \)। 🎉
