নিচের কোন ফাংশনটির অন্তরজ ও যোগজ মান একই ? 

নিচের কোন ফাংশনটির অন্তরজ ও যোগজ মান একই?

1. ln x (Incorrect)
2. log x (Incorrect)
3. e^x (Correct)
4. 1 (Incorrect)

ব্যাখ্যা:

আমাদের এমন একটি ফাংশন খুঁজে বের করতে হবে যার অন্তরজ এবং যোগজ মান একই। আমরা প্রতিটি বিকল্পের জন্য এটি পরীক্ষা করব।

A. ln x

ফাংশন: f(x) = ln x

অন্তরজ: f'(x) = d/dx (ln x) = 1/x

যোগজ: ∫ ln x dx = x ln x - x + C (C হলো যোগজ ধ্রুবক)

এখানে, f(x) ≠ f'(x) এবং f(x) ≠ ∫ f(x) dx। সুতরাং, ln x সঠিক উত্তর নয়।

B. log x

ফাংশন: f(x) = log x (ধরে নিচ্ছি এটি স্বাভাবিক লগারিদম ln x)

অন্তরজ: f'(x) = d/dx (log x) = 1/x

যোগজ: ∫ log x dx = x log x - x + C

যদি log x বলতে অন্য কোন ভিত্তি বোঝানো হয়, তবে অন্তরজ এবং যোগজ আরও ভিন্ন হবে। সুতরাং, log x সঠিক উত্তর নয়।

C. e^x

ফাংশন: f(x) = e^x

অন্তরজ: f'(x) = d/dx (e^x) = e^x

যোগজ: ∫ e^x dx = e^x + C (C হলো যোগজ ধ্রুবক)

এখানে, f(x) = f'(x) এবং ∫ f(x) dx = e^x + C। যদি আমরা যোগজ ধ্রুবক C = 0 ধরি, তবে f(x) = ∫ f(x) dx। সুতরাং, e^x হলো সেই ফাংশন যার অন্তরজ এবং যোগজ মান একই (ধ্রুবকের জন্য)।

D. 1

ফাংশন: f(x) = 1

অন্তরজ: f'(x) = d/dx (1) = 0

যোগজ: ∫ 1 dx = x + C

এখানে, f(x) ≠ f'(x) এবং f(x) ≠ ∫ f(x) dx। সুতরাং, 1 সঠিক উত্তর নয়।

সিদ্ধান্ত

e^x হলো সেই ফাংশন যার অন্তরজ এবং যোগজ মান একই (যোগজ ধ্রুবকের জন্য)।

সঠিক উত্তর: C. e^x

প্রশ্ন: নিচের কোন ফাংশনটির অন্তরজ (Odd) ও যোগজ (Even) মান একই?
উত্তর: \( e^{x} \)

সমাধান:
একটি ফাংশন \(f(x)\) যদি অন্তরজ হয়, তাহলে এর শর্ত হলো:
\(f(-x) = -f(x)\)

অন্যদিকে, যদি একটি ফাংশন যোগজ হয়, তাহলে এর শর্ত হলো:
\(f(-x) = f(x)\)

এখন, \(f(x) = e^{x}\) জন্য:
\[
f(-x) = e^{-x}
\]

চেক করি:
\[
\text{অন্তরজ হলে: } f(-x) = -f(x) \Rightarrow e^{-x} = -e^{x}
\]
এটি সবসময় সত্য নয়, কারণ \(e^{x}\) সবসময় ধনাত্মক। 

অন্যদিকে, যোগজ হলে:
\[
f(-x) = f(x) \Rightarrow e^{-x} = e^{x}
\]
এটি শুধুমাত্র তখন হয়, যখন:
\[
e^{-x} = e^{x} \Rightarrow -x = x \Rightarrow x=0
\]

অতএব, \(f(x) = e^{x}\) শুধুমাত্র \(x=0\) এ অন্তরজ ও যোগজ মান সমান হয়। তবে, প্রশ্নে সাধারণত বোঝানো হয় যে, ফাংশনের অন্তরজ ও যোগজ মান একই, অর্থাৎ তারা সমান ফাংশন। এই শর্তে, এমন কোনো সাধারণ \(x\) এর জন্য এই মান সমান হয় না, কারণ:
\[
e^{x} \neq e^{-x}
\]
অন্তত \(x \neq 0\) হলে। তবে, বিশেষভাবে \(x=0\) এ,
\[
f(0) = e^{0} = 1
\]
এবং,
\[
f(-0) = e^{0} = 1
\]
অন্তরজ ও যোগজ মানের মান একই।

সুতরাং, **\(f(x) = e^{x}\) এর অন্তরজ ও যোগজ মান শুধুমাত্র \(x=0\) তে সমান।**

উপসংহার:
\[
\boxed{
\text{উত্তর: } e^{x} \text{ ফাংশনের জন্য, } x=0 \textএ অন্তরজ ও যোগজ মান সমান।}
}