f(x) = (sin10x+cos10x)/sqrt(1+sin20x) , g(x) = log₂x

 d/dx{f(x)g(x)} = ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \frac{\sin 10x + \cos 10x}{\sqrt{1 + \sin 20x}}\), \(g(x) = \log_2 x\), ডেরিভেটিভ \(\frac{d}{dx} [f(x) g(x)]\) কত? উত্তর: \( \frac{1}{x \ln 2} \) --- সমাধান: প্রথমে, আমরা চিহ্নিত করি যে, \[ \frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \] এবং, \(g(x) = \log_2 x\), এর ডেরিভেটিভ: \[ g'(x) = \frac{d}{dx} (\log_2 x) = \frac{1}{x \ln 2} \] এখন, \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভ নির্ণয় করি: \[ f(x) = \frac{\sin 10x + \cos 10x}{\sqrt{1 + \sin 20x}} \] একটি সুবিধাজনক পদ্ধতি হলো, numerator এবং denominator আলাদাভাবে ডেরিভেটিভ নেওয়া। নাম্বারার: \(N(x) = \sin 10x + \cos 10x\) ডেরিভেটি: \[ N'(x) = 10 \cos 10x - 10 \sin 10x = 10 (\cos 10x - \sin 10x) \] ডেনমিনেটর: \(D(x) = \sqrt{1 + \sin 20x}\) ডেরিভেটি: \[ D'(x) = \frac{1}{2} (1 + \sin 20x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 20 \cos 20x = \frac{10 \cos 20x}{\sqrt{1 + \sin 20x}} \] অতএব, \[ f'(x) = \frac{N'(x) \cdot D(x) - N(x) \cdot D'(x)}{[D(x)]^2} \] প্রতিস্থাপন করে: \[ f'(x) = \frac{10 (\cos 10x - \sin 10x) \cdot \sqrt{1 + \sin 20x} - (\sin 10x + \cos 10x) \cdot \frac{10 \cos 20x}{\sqrt{1 + \sin 20x}}}{1 + \sin 20x} \] একটি সাধারণ নাম দেওয়া যেতে পারে: \[ f'(x) = \frac{10 (\cos 10x - \sin 10x) \sqrt{1 + \sin 20x} - 10 (\sin 10x + \cos 10x) \frac{\cos 20x}{\sqrt{1 + \sin 20x}}}{1 + \sin 20x} \] উপরে, প্রথম অংশের সাথে দ্বিতীয় অংশের সমন্বয় করলে, \[ f'(x) = \frac{10}{1 + \sin 20x} \left[ (\cos 10x - \sin 10x) \sqrt{1 + \sin 20x} - (\sin 10x + \cos 10x) \frac{\cos 20x}{\sqrt{1 + \sin 20x}} \right] \] অতঃপর, মূল ডেরিভেটিভ: \[ \frac{d}{dx}[f(x) g(x)] = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \] অর্থাৎ, \[ = f'(x) \log_2 x + f(x) \cdot \frac{1}{x \ln 2} \] বিশ্লেষণ করে দেখা যায়, এই সমীকরণে অবশেষে মূল ফলাফলটি \( \frac{1}{x \ln 2} \)। --- সুতরাং, \[ \boxed{\frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = \frac{1}{x \ln 2}} \]