Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x}\) কে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ কর।
উত্তর:
প্রথমে, সমীকরণটি লিখি:
\[
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x}
\]
অন্তরীকরণের জন্য, \(\tan x\) ও \(\cot x\) কে সাইন ও কোসাইন এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:
\[
\frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}}
\]
স্মারকভাবে, নিম্নলিখিত পার্থক্য ও যোগের জন্য সাধারণ হার:
\[
\frac{\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin x \cos x}}{\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}}
\]
উপরের ভগ্নাংশের উভয় অংশের ডিনোমিনেটর একই, তাই এটি কেটে যাবে:
\[
\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x}
\]
অবশ্য, জানি:
\[
\sin^2 x + \cos^2 x = 1
\]
অতএব, সমীকরণটি সরলীকৃত হয়:
\[
\frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{1}
\]
এখন, পরিচিত ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণ অনুযায়ী:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
এবং,
\[
\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x
\]
তাই,
\[
\sin^2 x - \cos^2 x = - (\cos^2 x - \sin^2 x) = - \cos 2x
\]
অতএব, সমাধান:
\[
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = - \cos 2x
\]
পরবর্তী ধাপে, আমরা \(\cos 2x\) এর সমতুল্য রূপ ব্যবহার করবো:
\[
\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x
\]
তাই,
\[
- \cos 2x = - (1 - 2 \sin^2 x) = -1 + 2 \sin^2 x
\]
এবং, চূড়ান্ত রূপ:
\[
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = 2 \sin^2 x - 1
\]
এখানে, চূড়ান্ত উত্তর হিসেবে উল্লেখ করা হয়:
\[
2 \sin^2 x
\]
তাই, সমাধান হলো:
অন্তরীকরণে,
\[
\frac{\tan x - \cot x}{\tan x + \cot x} = 2 \sin^2 x
\]
অথবা, এটি লেখা যায়:
\[
= 2 \sin 2x
\]
