f(x)=sinx হলে–

1. intf(x)dx=-cosx+c 
2. int{f(x)}^2dx=x/2-sin(2x)/4+c i
3. intf(7x)dx=-cos(7x)/7+c 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \sin x\) হলে নিম্নলিখিত অপারেশনগুলো সঠিক কিনা যাচাই করতে হবে: (i) \(\int f(x) dx = -\cos x + c\) (ii) \(\int [f(x)]^2 dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c\) (iii) \(\int f(7x) dx = -\frac{\cos 7x}{7} + c\) --- ### (i) \(\int \sin x dx\) \[ \int \sin x dx = - \cos x + c \] সুতরাং, এটি সঠিক। --- ### (ii) \(\int [f(x)]^2 dx = \int (\sin x)^2 dx\) \[ \int \sin^2 x dx \] জানা যে, \[ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \] অতএব, \[ \int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int 1 dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \frac{1}{2} x \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x}{4} \] অতএব, \[ \int \sin^2 x dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c \] যা দেওয়া উত্তরটির সাথে মিলছে। সুতরাং, এটি সঠিক। --- ### (iii) \(\int f(7x) dx = \int \sin 7x dx\) প্রতিটি অপারেশনের জন্য: \[ \int \sin 7x dx \] আমরা জানি, \[ \int \sin kx dx = - \frac{\cos kx}{k} + c \] অতএব, \[ \int \sin 7x dx = - \frac{\cos 7x}{7} + c \] এবং এটি দেওয়া উত্তরের সঙ্গে মিলছে। সুতরাং, এটি সঠিক। --- ### **উপসংহার:** সবগুলো অপারেশনই সঠিক। অতএব, **উত্তর: i, ii & iii**। --- ### **সংক্ষেপে:** ```html

প্রথমটি,

\(\int \sin x dx = - \cos x + c\) — সঠিক।

দ্বিতীয়টি,

\(\int (\sin x)^2 dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + c\) — সঠিক।

তৃতীয়টি,

\(\int \sin 7x dx = - \frac{\cos 7x}{7} + c\) — সঠিক।

অতএব, উত্তর: i, ii & iii

```