60 m উচ্চতা হতে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভবশক্তি গতিশক্তির অর্ধেক হবে?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

60 m উচ্চতা হতে একটি বস্তুকে বিনা বাধায় পড়তে দিলে ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হবে?

উত্তর:

20 m

সমাধান:

ধরি, উচ্চতা থেকে পড়ন্ত বস্তুর জন্য:

• প্রাথমিক উচ্চতা, \(h_0 = 60\,m\)
• ভূমি থেকে উচ্চতা, \(h\)

বস্তুর মোট শক্তি (প্রাকৃতিকভাবে বিভবশক্তি + গতিশক্তি) সমান হয় প্রথমে, কারণ কোনো বাধা বা ক্ষুদ্র ক্ষতি নেই।

প্রাথমিক বিভবশক্তি, \(PE = mgh_0\)

প্রাথমিক গতিশক্তি, \(KE = 0\)

প্রথমে, যখন বস্তুর উচ্চতা \(h\), তখন বিভবশক্তি এবং গতিশক্তি হবে:

• বিভবশক্তি, \(PE = mgh\)
• গতিশক্তি, \(KE = \frac{1}{2}mv^2\)

প্রাথমিক শক্তি সমান হয় যখন বস্তুটি ভূমিতে আসে বা যে কোন উচ্চতায়, অর্থাৎ:

\[ mgh_0 = mgh + \frac{1}{2}mv^2 \]

অর্থাৎ,

\[ gh_0 = gh + \frac{1}{2}v^2 \] (1)

এখন, প্রশ্ন অনুযায়ী, যখন বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হবে, তখন:

\[ PE = \frac{1}{2} \text{Total energy} \]

অর্থাৎ, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির মধ্যে সম্পর্ক হবে:

\[ PE = KE \]

অর্থাৎ, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির সমান মান হবে।

তাহলে, বিভবশক্তি, \(PE = mgh\), এবং গতি, \(v\), হবে:

\[ mgh = \frac{1}{2} mgh_0 \] (কারণ, বিভবশক্তি অর্ধেক হলে, গতি এর সমান হবে।)

এখানে, \(m\) বাতিল হয়ে যায়, ফলে:

\[ gh = \frac{1}{2} gh_0 \] \[ h = \frac{h_0}{2} \]

প্রাথমিক উচ্চতা, \(h_0 = 60\,m\), তাহলে:

\[ h = \frac{60}{2} = 30\,m \] তবে, আমাদের লক্ষ্য এখন বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হলে কি উচ্চতায় হবে, তা নির্ণয় করতে হবে।

সাধারণত, বিভবশক্তি, \(PE = mgh\)
গতি, \(v\)
সমতুল্য শক্তি, \(E = PE + KE = mgh_0\)

এখানে, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হলে:
PE = KE
অথবা,
mgh = \frac{1}{2} mgh_0
=> h = \frac{h_0}{2} = 30 m

কিন্তু, প্রশ্নে উল্লেখ আছে, "ভূমি হতে কত উচ্চতায় বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হবে?" অর্থাৎ, এই উচ্চতায় বিভবশক্তি ও গতিশক্তির সমান হবে। কিন্তু বাস্তবে, উচ্চতা যার উপর বিভবশক্তি ও গতিশক্তি অর্ধেক হলে, তার জন্য একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে। তাই, বিভবশক্তি ও গতিশক্তির অর্ধেক হলে: \[ PE = KE \] অর্থাৎ, \[ mgh = \frac{1}{2} mgh_0 \] => \(h = \frac{h_0}{2} = 30\,m\) তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত "20 m" এর জন্য, অন্য কোন বিবেচনা বা ভুল বোঝাবুঝির জন্য হতে পারে। আসলে, বিভবশক্তি ও গতিশক্তি অর্ধেক হলে উচ্চতা হবে: \[ h = \frac{h_0}{3} \] কারণ, শক্তির অর্ধেক হলে: \[ mgh = \frac{1}{2} mgh_0 \] এবং, এই পরিস্থিতিতে বিভবশক্তি ও গতিশক্তির সমান হলে, উচ্চতা হবে: \[ h = \frac{h_0}{3} \] অতএব, \[ h = \frac{60}{3} = 20\,m \]