x ≥ 0, y ≥ 0, x + y = 5, x ≥ 2, y ≤ 4 শর্তসমূহ সাপেক্ষে z=6x+2y রাশিটির সর্বোচ্চ মান

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া শর্তসমূহ হলো:

• \(x \geq 0\)
• \(y \geq 0\)
• \(x + y = 5\)
• \(x \geq 2\)
• \(y \leq 4\)

আমাদের লক্ষ্য হলো সর্বোচ্চ মান খুঁজে বের করা:

\(z = 6x + 2y\)

ধাপ ১: সীমারেখা ব্যবহার করে সমাধান

প্রথমে, \(x + y = 5\) থেকে, আমরা \(y\) এর মান লিখতে পারি:

\[ y = 5 - x \]

ধাপ ২: সীমাবদ্ধতা বিশ্লেষণ

প্রতি সীমাবদ্ধতা অনুযায়ী:

• \(x \geq 2\)
• \(y \leq 4\)

এখন, \(y = 5 - x\), তাই:

\[ 5 - x \leq 4 \Rightarrow x \geq 1 \] অর্থাৎ, এই শর্তে \(x \geq 2\) হওয়ায়, সর্বনিম্ন \(x\) হল 2। এছাড়াও, যেহেতু \(x \geq 0\), এবং \(x \geq 2\), তাই মূলত \(x \geq 2\)। অন্যদিকে, \(x\) এর উপযুক্ত মানের জন্য, এটি অবশ্যই \(x \leq 5\), কারণ \(x + y = 5\) এবং \(y \geq 0\), তাই: \[ x \leq 5 \] সুতরাং: \[ 2 \leq x \leq 5 \] এবং \(y = 5 - x\), যেখানে \(0 \leq y \leq 4\): \[ 0 \leq 5 - x \leq 4 \] প্রথমটি: \[ 5 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 5 \] দ্বিতীয়টি: \[ 5 - x \leq 4 \Rightarrow x \geq 1 \] যেহেতু \(x \geq 2\), এই শর্তে আমরা নিশ্চিত যে: \[ x \in [2, 5] \]

ধাপ ৩: সর্বোচ্চ \(z = 6x + 2y\) মান নির্ণয়

প্রতিস্থাপন করি \(y = 5 - x\): \[ z = 6x + 2(5 - x) = 6x + 10 - 2x = (6x - 2x) + 10 = 4x + 10 \] এখন, \(z\) এর মান সর্বোচ্চ করতে হলে, \(x\) এর মান সর্বোচ্চ নিতে হবে, অর্থাৎ \(x = 5\): \[ z_{\text{max}} = 4 \times 5 + 10 = 20 + 10 = 30 \]

উত্তর:

সর্বোচ্চ মান হলো 30.