Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \(\sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4}) = \text{কত?}\)
প্রথমে, প্রশ্নের অভ্যন্তরে থাকা অভিব্যক্তিগুলোর মান নির্ণয় করি।
ধাপ ১: \(\cos^{-1} \frac{3}{4}\) নির্ণয়
ধরা যাক, \(\theta = \cos^{-1} \frac{3}{4}\)। তাহলে,
\[
\cos \theta = \frac{3}{4}
\]
এবং, ত্রিভুজে,
\[
\text{অধিকাংশ} = 1, \quad \অধিকাংশ} = \frac{3}{4}, \quad \অধিকাংশ} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}
\]
অতএব,
\[
\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}
\]
এবং,
\[
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}}
\]
ধাপ ২: \(\tan \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4})\) নির্ণয়
প্রথমে, \(\alpha = \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4})\)। তবে, \(\cot^{-1}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
এখানে, \(\cot^{-1} x\) এর মান হল, এমন সেই কোণ \(\alpha\), যেখানে
\[
\cot \alpha = x
\]
এবং, \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\).
অতএব,
\[
\cot \alpha = \frac{3}{\sqrt{7}}
\]
এবং,
\[
\Rightarrow \tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{\sqrt{7}}{3}
\]
এবং,
\[
\Rightarrow \tan \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4}) = \tan \alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}
\]
ধাপ ৩: মূল অভিব্যক্তি নির্ণয়
অতএব,
\[
\sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} \frac{3}{4}) = \sin \alpha
\]
এবং,
\[
\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}\right)^2}}
\]
গাণিতিকভাবে,
\[
\sin \alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{1 + \frac{7}{9}}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{\frac{9}{9} + \frac{7}{9}}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}}} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{4}
\]
**উত্তর:**
\[
\boxed{\frac{\sqrt{7}}{4}}
\]
**অতএব, মূল প্রশ্নের উত্তর হলো \(\boxed{\frac{\sqrt{7}}{4}}\)।**
