tan^-1x + tan^-1y = pi + tan^-1 (x+y)/(1-xy) হলে - 

1. xy<1
2. xy=1
3. xy>1

প্রশ্ন:

tan^-1x + tan^-1y = π + tan^-1 \(\frac{x + y}{1 - xy}\)

উত্তর:

"i, ii ও iii"

সমাধান:

ধরি,

\(A = \tan^{-1} x\), ও \(B = \tan^{-1} y\)

তাহলে, প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণটি হয়:

\(A + B = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)

Step 1: সাধারণ সমাধান সূত্র ব্যবহার করে দেখি:

তাদের যোগফল সূত্র অনুযায়ী,

\(A + B = \tan^{-1} \left(\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)

Step 2: মূল সমীকরণে দেওয়া হয়েছে:

\(A + B = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)

Step 3: দুটো সমান হওয়ার জন্য, এই সমীকরণের মান অবশ্যই একটির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত হওয়া উচিত।

তাহলে,

\(\tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) = A + B - \pi\)

Step 4: \(\tan^{-1}\) এর মানে, এই সমীকরণটি ধরা যাক:

যদি \(A + B = \pi + \theta\), যেখানে \(\theta = \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\), তবে,

\(\theta = A + B - \pi\)

Step 5: এখন, \(\tan (A + B)\) এর মান নির্ণয় করি।

\(\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{x + y}{1 - xy}\)

Step 6: এখন, মূল সমীকরণের মধ্যে,

\(A + B = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)

এবং, \(\tan (A + B) = \tan (\pi + \theta) = \tan \theta\), কারণ \(\tan (\pi + \theta) = \tan \theta\)

Step 7: এটি থেকে,

\(\frac{x + y}{1 - xy} = \tan \theta\)

Step 8: তবে, \(\theta = A + B - \pi\), যেখানে \(A = \tan^{-1} x\) ও \(B = \tan^{-1} y\)।

তাহলে, \(\theta = \tan^{-1} x + \tan^{-1} y - \pi\)

Step 9: \(\tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y) = \frac{x + y}{1 - xy}\)

এবং, \(\tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y) = \frac{\tan \tan^{-1} x + \tan \tan^{-1} y}{1 - \tan \tan^{-1} x \tan \tan^{-1} y} = \frac{x + y}{1 - xy}\)

Step 10: এখন, \(\tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y) = \frac{x + y}{1 - xy}\), যা ইতিমধ্যে দেওয়া হয়েছে।

Step 11: এই সমীকরণের ভিত্তিতে, আমরা বুঝতে পারি যে:

• যদি \(xy < 1\), তাহলে \(\frac{x + y}{1 - xy}\) বাস্তব মান হবে এবং সমীকরণটি সত্য হবে।
• যদি \(xy = 1\), তাহলে, \(\frac{x + y}{1 - xy}\) অসীম হবে বা দৃষ্টান্তে অসীম মানে সমীকরণ অপ্রয়োজনীয়।
• যদি \(xy > 1\), তখন, \(\frac{x + y}{1 - xy}\) নেতিবাচক বা অসীম মানে আড়াআড়ি পরিবর্তন হতে পারে।

অতএব, এই সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হলো:

• i. \(xy < 1\)
• ii. \(xy = 1\)
• iii. \(xy > 1\)

উপসংহার:

অর্থাৎ, উপরের সব শর্তই সঠিক। তাই, উত্তর হবে: i, ii ও iii