1/(sin10^o)-sqrt3/(cos10^o)=?

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ \frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} \]

প্রথমে এই দুই ভগ্নাংশের সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করি।

সমীকরণটি লিখি:

\[ \frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} \]

দুই ভগ্নাংশের সমন্বয় করার জন্য সাধারণ হস্তু (common denominator) গ্রহণ করি:

\[ \frac{\cos 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} - \frac{\sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \]

এখন উভয় ভগ্নাংশের উপরের অংশ লিখি:

\[ \frac{\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ}{\sin 10^\circ \cos 10^\circ} \]

এখন লক্ষ্য করি যে, numerator অংশটি একটি ট্রিগনোমেট্রিক অভিব্যক্তি:

\[ \cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ \]

এটি আমরা রূপান্তর করবো:

প্রথমত, লক্ষ্য করি যে, সেটি একটি কোসাইন অভিব্যক্তি এর মতো:

\[ R \cos (10^\circ + \phi) \]

এখানে, R এবং \(\phi\) নির্ণয় করতে হবে।

সাধারণত,

\[ R \cos (A + B) = R (\cos A \cos B - \sin A \sin B) \]

আমাদের প্রয়োজন:

\[ R \cos (10^\circ + \phi) = \cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ \] অর্থাৎ, \[ \begin{cases} R \cos \phi = \cos 10^\circ \\ R \sin \phi = \sqrt{3} \sin 10^\circ \end{cases} \] এবং, \[ R = \sqrt{(\cos 10^\circ)^2 + (\sqrt{3} \sin 10^\circ)^2} = \sqrt{\cos^2 10^\circ + 3 \sin^2 10^\circ} \] যেখানে, \[ \cos^2 10^\circ + \sin^2 10^\circ = 1 \] অতএব, \[ R = \sqrt{1 + 2 \sin^2 10^\circ} \] কিন্তু, এ পর্যায়ে সরাসরি R এর মানে না গিয়ে, আমরা লক্ষ্য করি যে, এটি আরও সরল রূপে লেখা যায়। অথচ, যদি আমরা \(\cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ\) এর মানটি নির্ণয় করি, তাহলে মনে হয় এটি একটি কোসাইন বা সিন অ্যাঙ্গেল রূপান্তর। অনুপ্রেরণার জন্য, লক্ষ্য করি যে: \[ \cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ = 2 \left( \frac{1}{2} \cos 10^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 10^\circ \right) \] এখানে, \[ \frac{1}{2} = \cos 60^\circ, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin 60^\circ \] অতএব, \[ \cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ = 2 ( \cos 60^\circ \cos 10^\circ - \sin 60^\circ \sin 10^\circ ) = 2 \cos (10^\circ + 60^\circ) = 2 \cos 70^\circ \] সুতরাং, উক্ত ন্যূনতম অংশটি হয়: \[ \cos 10^\circ - \sqrt{3} \sin 10^\circ = 2 \cos 70^\circ \] এবং, ডিনোমিনেটর: \[ \sin 10^\circ \cos 10^\circ = \frac{1}{2} \sin 20^\circ \] অতএব, সমাধান হয়: \[ \frac{2 \cos 70^\circ}{\frac{1}{2} \sin 20^\circ} = \frac{2 \cos 70^\circ \times 2}{\sin 20^\circ} = \frac{4 \cos 70^\circ}{\sin 20^\circ} \] এখন, \(\cos 70^\circ = \sin 20^\circ\) (কারণ \(\cos 70^\circ = \sin (90^\circ - 70^\circ) = \sin 20^\circ\)), তাহলে: \[ \frac{4 \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ} = 4 \] অতএব, উত্তর হলো: \[ \boxed{4} \]