একটি সেকেন্ড দোলক ভূ- পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। চন্দ্রে নিয়ে গেলে এর দোলনকাল কত হবে?  পৃথিবীর ভর  চন্দ্রের ভরের 81গুণ এবং পৃথিবীর ব্যাসার্ধ চন্দ্রের ব্যাসার্ধের 4 গুণ। 

প্রথমে, আমাদের জানা দরকার যে, একটি দোলকের সময়কাল (\(T\)) হলো:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

এখানে, \(L\) হলো দোলকের লম্বত্ব এবং \(g\) হলো পৃথিবীর বা চন্দ্রের গড় ত্বরণ।

প্রথমে, পৃথিবীর জন্য:

• দোলকের সময়কাল: \( T_{পৃথিবী} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{পৃথিবী}}} \)

চন্দ্রের জন্য:

• চন্দ্রের গড় ত্বরণ: \( g_{চন্দ্র} \)
• আমাদের জানানো হয়েছে, পৃথিবীর ভর \( M_{পৃথিবী} \) এবং চন্দ্রের ভর \( M_{চন্দ্র} = \frac{M_{পৃথিবী}}{81} \)
• পৃথিবীর ব্যাসার্ধ \( R_{পৃথিবী} \) এবং চন্দ্রের ব্যাসার্ধ \( R_{চন্দ্র} = \frac{R_{পৃথিবী}}{4} \)

চন্দ্রের গড় ত্বরণ \(g\):

তৈরি করি, \(g\) এর জন্য সূত্র:

\[ g = \frac{GM}{R^2} \]

তাই, চন্দ্রের জন্য:

\[ g_{চন্দ্র} = \frac{G \times M_{চন্দ্র}}{R_{চন্দ্র}^2} \]

এবং, পৃথিবীর জন্য:

\[ g_{পৃথিবী} = \frac{G \times M_{পৃথিবী}}{R_{পৃথিবী}^2} \]

প্রতিটি ভরের অনুপাত অনুযায়ী:

• \( M_{চন্দ্র} = \frac{M_{পৃথিবী}}{81} \)
• \( R_{চন্দ্র} = \frac{R_{পৃথিবী}}{4} \)

অতএব, \(g_{চন্দ্র}\) এর অনুপাত:

\[ g_{চন্দ্র} = \frac{G \times \frac{M_{পৃথিবী}}{81}}{\left(\frac{R_{পৃথিবী}}{4}\right)^2} = \frac{G M_{পৃথিবী}}{81} \times \frac{16}{R_{পৃথিবী}^2} = \frac{16}{81} \times \frac{G M_{পৃথিবী}}{R_{পৃথিবী}^2} = \frac{16}{81} g_{পৃথিবী} \]

অতএব, চন্দ্রের গড় ত্বরণ:

\[ g_{চন্দ্র} = \frac{16}{81} g_{পৃথিবী} \]

চন্দ্রের দোলনকাল \( T_{চন্দ্র} \):

\[ T_{চন্দ্র} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{চন্দ্র}}} \]

প্রথমে, তূলনামূলকভাবে:

\[ T_{চন্দ্র} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{চন্দ্র}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{\frac{16}{81} g_{পৃথিবী}}} \]

\[ = 2\pi \sqrt{\frac{L \times 81}{16 g_{পৃথিবী}}} = 2\pi \times \frac{\sqrt{81 L}}{\sqrt{16 g_{পৃথিবী}}} \]

\[ = 2\pi \times \frac{9 \sqrt{L}}{4 \sqrt{g_{পৃথিবী}}} \]

এবং, পৃথিবীর জন্য:

\[ T_{পৃথিবী} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{পৃথিবী}}} \]

অতএব, আমরা পাই:

\[ T_{চন্দ্র} = \frac{9}{4} T_{পৃথিবী} \]

যেহেতু, পৃথিবীর দোলনকাল \( T_{পৃথিবী} \) দেওয়া হয়েছে: 4.5 সেকেন্ড

তাহলে, চন্দ্রের দোলনকাল:

\[ T_{চন্দ্র} = \frac{9}{4} \times 4.5\, \text{s} = 2.25 \times 4.5\, \text{s} = 10.125\, \text{s} \]