বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

প্রশ্ন: 2cm দৈর্ঘ্যের একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রে \( \frac{\pi}{4} \) কোণ উৎপন্ন করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং জ্যা AB = 2cm ।

জ্যা AB কেন্দ্রে \( \angle AOB = \frac{\pi}{4} \) কোণ উৎপন্ন করে।

\( \triangle AOB \) -এ, OA = OB = r (বৃত্তের ব্যাসার্ধ)

সুতরাং, \( \triangle AOB \) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

O থেকে AB এর উপর লম্ব OD আঁকি। OD, \( \angle AOB \) কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অতএব, \( \angle AOD = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \)

\( \triangle AOD \) -এ, \( \sin(\angle AOD) = \frac{AD}{OA} \)

\( \sin(\frac{\pi}{8}) = \frac{1}{r} \) [ যেহেতু AD = AB/2 = 2/2 = 1cm ]

সুতরাং, \( r = \frac{1}{\sin(\frac{\pi}{8})} \)

আমরা জানি, \( \sin(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}}} \)

তাহলে, \( r = \sqrt{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}} \)

বৃত্তের ক্ষেত্রফল \( A = \pi r^2 \)

\( A = \pi \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \pi \times \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \pi \times \frac{4 + 2\sqrt{2}}{2 - 1} = \pi (4 + 2\sqrt{2}) \)

\( A = \pi (4 + 2 \times 1.414) = \pi (4 + 2.828) = \pi \times 6.828 \)

\( A \approx 3.1416 \times 6.828 \approx 21.44 \) cm²

সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল প্রায় 21.44 cm²। 🥳

অতএব, প্রদত্ত উত্তর 21.5 cm² সঠিক।