\( R - (n\pi : n \in \mathbb{Z}) \) এবং রেঞ্জ = \( R - (-1,1) \) এটি কার ডোমেন?

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

• রেঞ্জ \( R - (n\pi : n \in \mathbb{Z}) \)
• অথবা, রেঞ্জ \( R - (-1,1) \)

আমরা জানি, \( R \) এর মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট সেট বাদ দিলে যা অবশিষ্ট থাকে, তা হলো:

R - (-1,1) = \{ x \in R : x \notin (-1,1) \} = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)

অর্থাৎ, এই রেঞ্জের জন্য ডোমেনটি এমন ফাংশন যেখানে আউটপুটের মান এই সেটের বাইরে।

এখন, প্রশ্নে উল্লেখিত প্রথম অংশে দেওয়া হয়েছে:

\( R - (n\pi : n \in \mathbb{Z}) \)

এখানে, \( n\pi \) হলো সংখ্যাগুলি যা হল সব পাইন সংখ্যা। এই সেটের মধ্যে রয়েছে:

\{ \dots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, \dots \}

এবং, যদি এই সেটের মান বাদ দেওয???া হয়, তাহলে রেঞ্জ হবে:

R - \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = R - (n\pi)

যেখানে, এই রেঞ্জের মানগুলি হলো, সব real সংখ্যাগুলি বাদে যেগুলির মান \( n\pi \) এর সমান।

এখন, মূলত এই সেটের জন্য ডোমেনটি নির্ণয় করতে চাই, যেখানে ফাংশনের আউটপুট এই রেঞ্জের বাইরে।

প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশে উল্লেখ করা হয়েছে:

রেঞ্জ = \( R - (-1,1) \)

এখানে, রেঞ্জের জন্য ডোমেনটি মূলত:

\{ x \in R : x \notin (-1,1) \} = (-\infty, -1] \cup [1, \infty)

এবং, এই ডোমেনের ফাংশনের আউটপুটের মান হবে এই রেঞ্জের বাইরে।

এখন, এই ধরনের ফাংশনের একটি উদাহরণ হলো:

\( y = \cos \theta \)

কারণ, \(\cos \theta\) এর মান সর্বদা \(-1 \leq \cos \theta \leq 1\)।

তবে, যদি ডোমেনটি হয় \( R - (n\pi : n \in \mathbb{Z}) \), তাহলে সেখানে \(\theta\) এমন মান নেবার দরকার যেখানে \(\cos \theta\) এর মান এই সেটের বাইরে।

অর্থাৎ, \(\cos \theta\) এর মান যদি \(-1\) বা \(1\) এর বাইরে যায়, তাহলে \(\theta\) মান এই সেটের বাইরে থাকবে।

বিশ্লেষণে দেখা যায়,

• যখন \(\cos \theta = \pm 1\), তখন \(\theta = 2k\pi\) বা \(\theta = (2k+1)\pi\), যেখানে \(k \in \mathbb{Z}\)।
• অন্যদিকে, \(\cos \theta\) এর মান \(-1\) বা \(1\) এর বাইরে গেলে, \(\theta\) এর মান হবে এমন যেখানে \(\theta \neq k\pi\) (যেখানে \(k \in \mathbb{Z}\))।

অতএব, \(\cos \theta\) এর ডোমেন এমন মান যেখানে \(\theta \neq n\pi\) (যেখানে \(n \in \mathbb{Z}\)), কারণ এই মানগুলিতে \(\cos \theta = \pm 1\)।

সংক্ষেপে, এই ডোমেন হলো:

\{\theta \in R : \theta \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}\}

অর্থাৎ, \(\theta\) এর মান এমন যেখানে \(\theta\) \( n\pi \) নয়।

সুতরাং, উপযুক্ত ডোমেন হলো:

\boxed{
\{\theta \in R : \theta \neq n\pi, n \in \mathbb{Z}\}
}

এবং এই ডোমেনের জন্য, \(\cos \theta\) এর মান সর্বদা \(-1\) এর বাইরে বা \(1\) এর বাইরে থাকবে।