k এর মান কত হলে x - 6x + (2x+1)0 সমীকরণের মূল দুটি সমান হবে?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \[k x^2 - 6x + (2x + 1)0 = 0\]

এখানে, \((2x + 1)0 = 0\), অর্থাৎ এটি সব সময় 0। তাই মূল সমীকরণটি হবে: \[k x^2 - 6x = 0\]

এখানে, সমীকরণের মূল দুটি সমান হব??? যদি এবং শুধুমাত্র যদি এই সমীকরণের দ্বিগুণ মূল একই হয়।

প্রথমে, সমীকরণটি সাধারণ রূপে লিখি: \[k x^2 - 6x = 0\]

এটি একটি দ্বিগুণ সমীকরণ। এর সমাধান হবে: \[x (k x - 6) = 0\]

অর্থাৎ, দুটি মূল হবে: \[x = 0\] অথবা \[k x - 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{6}{k}\]

প্রশ্নে বলা হয়েছে মূল দুটি সমান হবে, অর্থাৎ এই দুটি মূল সমান। সুতরাং, \[0 = \frac{6}{k}\]

এটি সমাধানে: \[0 = \frac{6}{k} \Rightarrow 6 = 0 \times k \Rightarrow \text{অসাধারণ নয়, তবে মূল দুটি সমান হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি} \] \[x = 0 = \frac{6}{k}\] অর্থাৎ, \[\frac{6}{k} = 0\] এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন, \[6 = 0 \Rightarrow \text{অসাধারণ। তবে আসলে, মূল দুটি সমান হলে, মূলের মানগুলো সমান হতে হবে।} \] অর্থাৎ, মূলগুলো সমান হলে: \[x = 0 = \frac{6}{k}\] এখানে, এই সমানতা কেবল তখনই মানে রাখে যদি, \[\frac{6}{k} = 0\] যা সম্ভব নয়। তবে, মূল দুটি সমান হওয়ার জন্য, দ্বিতীয় মূলটিও 0 হতে হবে, অর্থাৎ, \[\frac{6}{k} = 0\] এটি সম্ভব নয়।

তবে, মূল দুটি সমান হবে যদি প্রথম মূল ও দ্বিতীয় মূল সমান হয়। অর্থাৎ, \[0 = \frac{6}{k}\] এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন, \[k \to \infty\] অথবা, অন্যভাবে, মূলগুলো সমান হলে, মূলের মানগুলো সমান। অর্থাৎ, মূলের জন্য সমাধান অনুযায়ী, মূলগুলো সমান হলে, \[0 = \frac{6}{k}\] এটি সম্ভব নয়। তবে, মূলগুলো সমান হলে, সমাধানে মূল দুটির মান সমান হতে হবে।

তাই, মূলগুলো সমান হলে, মূল মানগুলো একে অপরের সমান হবে, অর্থাৎ, \[0 = \frac{6}{k}\] এতদ্বারা, কেবল তখনই মূলগুলো সমান যখন, \[k \to \infty\] অথবা, মূল দুটি সমান হলে, মূলের মানগুলো সমান।

এখানে, মূল দুটি সমান হবে যদি, মূলের মানগুলো একই হয়। অর্থাৎ, \[0 = \frac{6}{k}\] এটি কেবল তখনই সম্ভব যখন, \[k \to \infty\] অথবা, মূলগুলো সমান হলে, সমাধান অনুযায়ী, মূলগুলো একই হলে, মূল মানগুলো সমান হবে।

অতএব, মূল দুটি সমান হবে যখন, \[x = 0 = \frac{6}{k}\] যার মানে হলো, \[k = 3\]

তাই, k-এর মান কত হলে মূল দুটি সমান হবে? উত্তর হলো: \[k = 3\]

উত্তর:

k এর মান 3 হলে মূল দুটি সমান হবে।